Question

如图，在正方形ABCD中，AB=5，P是BC边上任意一点，E是BC延长
线上一点，连接AP，作PF⊥AP，使PF=PA，连接CF，AF，AF交CD边于点G，连接PG．
（1）求证：∠GCF=∠FCE；
（2）判断线段PG，PB与DG之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若BP=2，在直线AB上是否存在一点M，使四边形DMPF是平行四边形，若存在，求出BM的长度，若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）PG=PB＋DG，证明见解析；（3）存在.3；理由见解析.

试题分析：：（1）过点F作FH⊥BE于点H，利用正方形的性质，证得△BAP≌△HPF得出PH=AB，BP=FH进一步得出BP+PC=PC+CH，CH=BP=FH，∠FHC=90°，求得∠DCF=90°-45°=45°得出结论；
（2）延长PB至K，使BK=DG，连接AK，证得△ABK≌△ADG和△KAP≌△GAP，找出边相等得出结论；  
（3）首先判定存在，在直线AB上取一点M，使四边形DMPF是平行四边形，证得△ABP≌△DAM，进一步球的结论即可．
（1）证明：过点F作FH⊥BE于点H，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠PHF=∠DCB=90º,AB=BC，
∴∠BAP＋∠APB=90º
∵AP⊥PF,
∴∠APB＋∠FPH=90º
∴∠FPH=∠BAP
又∵AP=PF
∴△BAP≌△HPF
∴PH=AB，BP=FH 
∴PH="BC"
∴BP＋PC=PC＋CH
∴CH="BP=FH"
而∠FHC=90º. ∴∠FCH=CFH=45º
∴∠DCF=90º－45º=45º
∴∠GCF=∠FCE
（2）PG=PB＋DG
证明：延长PB至K，使BK=DG,
∵四边形ABCD是正方形
∴AB="AD," ∠ABK=ADG=90º
∴△ABK≌△ADG
∴AK="AG," ∠KAB=∠GAD,
而∠APF="90" º,AP=PF
∴∠PAF=∠PFA="45" º
∴∠BAP＋∠KAB=∠KAP="45" º=∠PAF
∴△KAP≌△GAP
∴KP=PG,
∴KB＋BP=DG＋BP=PG
即，PG=PB＋DG
（3）存在.
如图，在直线AB上取一点M，使四边形DMPF是平行四边形，
则MD∥PF，且MD=FP，
又∵PF=AP，
∴MD=AP
∵四边形ABCD是正方形 ，
∴AB=AD，∠ABP=∠DAM
∴△ABP≌△DAM 
∴AM=BP=2，
∴BM=AB－AM=5－2="3."
∴当BM=3，BM+AM=AB时，四边形DMPF是平行四边形．