Question

【题目】如图①②，在平面直角坐标系中，边长为2的等边恰好与坐标系中的重合，现将绕边的中点点也是的中点），按顺时针方向旋转到△的位置．

（1）求点的坐标；

（2）求经过三点、、的抛物线的解析式；

（3）如图③，是以为直径的圆，过点作的切线与轴相交于点，求切线的解析式；

（4）抛物线上是否存在一点，使得．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．

【解析】

（1）利用中心对称图形的性质和等边三角形的性质，可以求出．
（2）运用待定系数法，代入二次函数解析式，即可求出．
（3）借助切线的性质定理，直角三角形的性质，求出F，B的坐标即可求出解析式．
（4）当M在x轴上方或下方，分两种情况讨论．

解：（1）将等边绕边的中点按顺时针方向旋转到△，

则有，四边形是菱形，所以的横坐标为3，

根据等边的边长是2，

利用等边三角形的性质可得；

（2）抛物线过原点，设抛物线解析式为，

把，代入，得，

解得，，

抛物线解析式为；

（3），，

，

又，

，

，

，

设直线的解析式为，

把，代入，得，

解得，，

直线的解析式为；

（4）①当在轴上方时，存在，

，

得，解得，，

当时，，

当时，，

，；

②当在轴下方时，不存在，设点，

，

得，无解，

综上所述，存在点的坐标为，．