题目内容

(2013年四川泸州12分)如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(﹣2,0),点B的坐标为(1,),已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过三点A、B、O(O为原点).

(1)求抛物线的解析式;
(2)在该抛物线的对称轴上,是否存在点C,使△BOC的周长最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如果点P是该抛物线上x轴上方的一个动点,那么△PAB是否有最大面积?若有,求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积;若没有,请说明理由.(注意:本题中的结果均保留根号)

解:(1)将A(﹣2,0),B(1,),O(0,0)三点的坐标代入y=ax2+bx+c(a≠0),得:
,解得:
∴所求抛物线解析式为
(2)存在。理由如下:
如答图①所示,


∴抛物线的对称轴为x=﹣1。
∵点C在对称轴x=﹣1上,△BOC的周长=OB+BC+CO。
∵OB=2,∴要使△BOC的周长最小,必须BC+CO最小。
∵点O与点A关于直线x=﹣1对称,有CO=CA,
△BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA,
∴当A、C、B三点共线,即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时,BC+CA最小,此时△BOC的周长最小。
设直线AB的解析式为y=kx+t,则有:
,解得:
∴直线AB的解析式为
当x=﹣1时,,∴所求点C的坐标为(﹣1,)。
(3)设P(x,y)(﹣2<x<0,y<0),

如答图②所示,过点P作PQ⊥y轴于点Q,PG⊥x轴于点G,过点A作AF⊥PQ轴于点F,过点B作BE⊥PQ轴于点E,则PQ=﹣x,PG=y,由题意可得:

将①代入②得:

∴当x=时,△PAB的面积最大,最大值为
此时
∴点P的坐标为()。

解析

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