Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD交于点O，M、N分别为OB、OC的中点，又∠ACB=∠DBC．
（1）求证：AB=CD；
（2）若AD=

1

2

BC、求证：四边形ADNM为矩形．

Answer 1

分析：（1）要证AB=CD，由等腰梯形的判定定理知，可证AC=BD，由题意知∠ACB=∠DBC，得OB=OC，AD∥BC，得OA=OD，即可得证．
（2）要证四边形ADNM为矩形，只需证其对角线相等且相互平分，然后利用平行线分线段成比例定理进行证明．

解答：证明：（1）∵∠ACB=∠DBC，
∴OB=OC，（2分）
∵AD∥BC，
∴

OA

OC

=

OD

OB

，即OA=OD（2分）
∴AC=BD，（1分）
∴梯形ABCD为等腰梯形，即AB=CD；（1分）

（2）∵M、N分别为OB、OC的中点，
∴MN∥BC，MN=

1

2

BC，
∵AD=

1

2

BC，AD∥BC，
∴MN∥AD，MN=AD，
∴四边形AMND是平行四边形，
∴ON=OA，MO=DO，
又OA=OD，（2分）
∴ON=OA=MO=DO，
∴四边形ADNM为矩形．（1分）

点评：命题意图：
①检验学生对等腰梯形判定方法的掌握情况．
②将等腰梯形问题与矩形相结合，在考核学生梯形知识的同时又考查了矩形有关性质．
③学生在证明四边形为等腰梯形时，常直接找所需条件：同一底上的两底角相等或两条腰相等，而常忽略-关键要素：已经证明该四边形为梯形了吗，故需同学们多加注意．