Question

把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB = 3 cm，BC =4 cm．
（1）求线段DF的长；
（2）连接BE，求证：四边形BFDE是菱形；
（3）求线段EF的长．

Answer 1

（1）；（2）证明见解析；（3）.

试题分析：（1）由折叠知，BF=DF．在Rt△DCF中，利用勾股定理可求得，DF的长；
（2）利用翻折变换的性质得出∠2=∠3，BE=DE，BF=DF，进而利用等腰三角形的性质得出三条边相等即可；
（3）本题可利用相似解决，由于折叠，可知BD⊥EF，利用直角三角形相似的性质：对应边成比例求得结果．
（1）由折叠知，BF=DF．
设BF=x,则DF=x，CF=4-x,CD=AB=3
在Rt△DCF中，利用勾股定理得：x²-(4-x)²=3²
解得：x=.
（2）连接BE，

∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∵将一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和D重合，
∴∠2=∠3，BE=DE，BF=DF，
∴∠1=∠3，
∴ED=DF=DE=BF，
∴四边形EBFD是菱形；
（3）连接BD，得BD=5cm，利用，易得EF=cm.