题目内容

小明遇到这样一个问题:“如图1,在边长为a(a>2)的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1,当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时,求正方形MNPQ的面积.”
分析时,小明发现,分别延长QE,MF,NG,PH交FA,GB,HC,ED的延长线于 点R,S,T,W,可得△RQF,△SMG,△TNH,△WPE是四个全等的等腰直角三角形(如图2)
请回答:
(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个正方形(无缝隙不重叠),则这个正方形的边长为_______
(2)求正方形MNPQ的面积.
(3)参考小明思 考问题的方法,解决问题:
如图3,在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF,再分别过点D,E,F作BC,AC,AB的垂线,得到等边△RPQ.若S△RPQ=,则AD的长为_______.
(1) a;(2)2;(3) .

试题分析:(1)四个等腰直角三角形的斜边长为a,其拼成的正方形的面积为a2
(2)如图2所示,正方形MNPQ的面积等于四个虚线小等腰直角三角形的面积之和,据此求出正方形MNPQ的面积;
(3)参照小明的钥匙思路,对问题作同样的等积变形,即可求解问题.
(1) a
(2)∵四个等腰直角三角形△RQF,△SMG,△TNH,△WPE的面积和为a2,正方形ABCD的面积为a2
∴S正方形MNPQ=SARE+SDWH+SGCT+SSBF=4SARE=4××12=2;
(3) 
如答图1所示,分别延长RD,QF,PE,
交FA,EC,DB的延长线于点S,T,W.

由题意易得:△RSF,△QET,△PDW均为底角是30°的等腰三角形,其底边长均等于△ABC的边长.
所以△RSF,△QET,△PDW的面积等于△ABC的面积。
由此可得:SRPQ=SADS+SCFT+SBEW=3SADS
过点A作AN⊥SD于点N,设AD=AS=x,
则AN=AD•sin30°=x,SD=2ND=2ADcos30°=x,
∴SADS=SD•AN=x•x=x2
∴SRPQ=SADS+SCFT+SBEW=3SADS
=3×x2,得x2=
解得x=或x=?(不合题意,舍去)
∴x=,即AD的长为
考点: 四边形综合题.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网