Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，将△ACD沿对角线翻折后，点D恰好与边AB的中点M重合．

(1)点C是否在以AB为直径的圆上？请说明理由．
(2)当AB＝4时，求此梯形的面积．

Answer 1

(1)点C在以AB为直径的圆上．理由见解析       (2)3

解：(1)点C在以AB为直径的圆上．
理由：连接MC、MD，

∵AB∥CD，∴∠1＝∠2，
又∵∠1可由∠3翻折得到，
∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴AD＝DC.
又∵AM＝AD，∴CD＝AM，又∵AM∥CD，
∴四边形AMCD是菱形，∴AM＝MC＝AD，
同理DM＝BM＝BC，又∵AD＝BC，
∴MA＝MD＝MC＝MB，
∴点C在以AB为直径的圆上．
(2)由(1)知AM＝MD＝AD＝AB＝2，
∴△AMD是等边三角形．
过点D作DE⊥AB于E，则AE＝AM＝×2＝1，
由勾股定理得DE＝＝＝.
所以S_梯形ABCD＝ (AB＋CD)×DE
＝×(2＋4)×＝3.