Question

如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．

（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；
（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；
（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，∠EFD=∠BCD，并说明理由．

Answer 1

解：（1）证明：∵在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS）。
∴∠BAC=∠DAC。
∵在△ABF和△ADF中，，∴△ABF≌△ADF（SAS）。
∴∠AFD=∠AFB。
∵∠AFB=∠AFE，∴∠AFD=∠CFE。
（2）证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD。
又∵∠BAC=∠DAC，∴∠CAD=∠ACD。∴AD=CD。
∵AB=AD，CB=CD，∴AB=CB=CD=AD。∴四边形ABCD是菱形。
（3）当EB⊥CD时，∠EFD=∠BCD，理由如下：
∵四边形ABCD为菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF。
∵在△BCF和△DCF中，，∴△BCF≌△DCF（SAS）。
∴∠CBF=∠CDF。
∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠DEF=90°。∴∠EFD=∠BCD。

（1）由SSS定理证明△ABC≌△ADC可得∠BAC=∠DAC，再证明△ABF≌△ADF，可得∠AFD=∠AFB，进而得到∠AFD=∠CFE。
（2）首先证明∠CAD=∠ACD，再根据等角对等边可得AD=CD，再由条件AB=AD，CB=CD可得AB=CB=CD=AD，可得四边形ABCD是菱形。
（3）首先证明△BCF≌△DCF可得∠CBF=∠CDF，再根据BE⊥CD可得∠BEC=∠DEF=90°，从而得到∠EFD=∠BCD。