Question

已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点

（1）求证：△ABM≌△DCM
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（3）当AD：AB=       _时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）

Answer 1

解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝DC。
又∵MA＝MD，∴△ABM≌△DCM（SAS）。
（2）四边形MENF是菱形。证明如下：
∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，∴NE∥CM，NE=CM，MF=CM。
∴NE=FM，NE∥FM。∴四边形MENF是平行四边形。
∵△ABM≌△DCM，∴BM=CM。
∵E、F分别是BM、CM的中点，∴ME=MF。
∴平行四边形MENF是菱形。
（3）2：1

试题分析：（1）求出AB=DC，∠A=∠D=90°，AM=DM，根据全等三角形的判定定理推出即可。
（2）根据三角形中位线定理求出NE∥MF，NE=MF，得出平行四边形，求出BM=CM，推出ME=MF，根据菱形的判定推出即可。
（3）当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形，理由如下：
∵M为AD中点，∴AD=2AM。
∵AD：AB=2：1，∴AM=AB。
∵∠A=90°，∴∠ABM=∠AMB=45°。
同理∠DMC=45°。
∴∠EMF=180°-45°-45°=90°。
∵四边形MENF是菱形，∴菱形MENF是正方形。