Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AD=6，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，点P、Q分别在BD，AD上，则AP+PQ的最小值为（ ）

A.2
B.
C.2
D.3

Answer 1

【答案】D
【解析】解：
设BE=x，则DE=3x，
∵四边形ABCD为矩形，且AE⊥BD，
∴△ABE∽△DAE，
∴AE2=BEDE，即AE2=3x2 ，
∴AE= x，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2=AE2+DE2 ， 即62=（ x）2+（3x）2 ， 解得x= ，
∴AE=3，DE=3 ，
如图，设A点关于BD的对称点为A′，连接A′D，PA′，
则A′A=2AE=6=AD，AD=A′D=6，
∴△AA′D是等边三角形，
∵PA=PA′，
∴当A′、P、Q三点在一条线上时，A′P+PQ最小，
又垂线段最短可知当PQ⊥AD时，A′P+PQ最小，
∴AP+PQ=A′P+PQ=A′Q=DE=3 ，
故选D．

【考点精析】关于本题考查的矩形的性质和轴对称-最短路线问题，需要了解矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等；已知起点结点，求最短路径；与确定起点相反，已知终点结点，求最短路径；已知起点和终点，求两结点之间的最短路径；求图中所有最短路径才能得出正确答案．