Question

【题目】如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．

（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；

（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1），D（﹣1，4）； (2) △BCD为直角三角形，理由见解析.

【解析】试题分析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，利用待定系数法求得解析式后，通过配方成顶点式，即可得到顶点坐标；

（2）过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，在Rt△BOC中，由勾股定理可得BC2 =18，在Rt△CDF中，由勾股定理可得CD2 =2，在Rt△BDE中，由勾股定理可得BD2 =20，从而得BC2+CD2=BD2，由勾股定理的逆定理即可得△BCD为直角三角形．

试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，

由抛物线与y轴交于点C（0，3），可知c=3，

即抛物线的解析式为y=ax2+bx+3，

把点A（1，0）、点B（﹣3，0）代入，得，

解得，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，

∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；

（2）△BCD是直角三角形，理由如下：

过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，

∵在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，

∴BC2=OB2+OC2=18，

在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1，

∴CD2=DF2+CF2=2，

在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB﹣OE=3﹣1=2，

∴BD2=DE2+BE2=20，

∴BC2+CD2=BD2，

∴△BCD为直角三角形．