题目内容
【题目】如图,在Rt△ABC,∠ABC=90°,AB=20,BC=15,点D为AC边上的动点,点D从点C出发,沿CA往A运动,当运动到点A时停止.若设点D的运动时间为t秒,点D运动的速度为每秒2个单位长度.
(1)当t=2时,求CD、AD的长;
(2)在D运动过程中,△CBD能否为直角三角形,若不能,请说明理由,若能,请求出t的值;
(3)当t为何值时,△CBD是等腰三角形,请直接写出t的值.
【答案】(1)CD=4,AD=21;(2)t= 4.5 或12.5秒;(3)t=6.25或7.5或9秒时,△CBD是等腰三角形.
【解析】试题分析:(1)根据CD=速度×时间列式计算即可得解,利用勾股定理列式求出AC,再根据AD=AC-CD代入数据进行计算即可得解;
(2)分①∠CDB=90°时,利用△ABC的面积列式计算即可求出BD,然后利用勾股定理列式求解得到CD,再根据时间=路程÷速度计算;②∠CBD=90°时,点D和点A重合,然后根据时间=路程÷速度计算即可得解;
(3)分①CD=BD时,过点D作DE⊥BC于E,根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=BE,从而得到CD=AD;②CD=BC时,CD=6;③BD=BC时,过点B作BF⊥AC于F,根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CF,再由(2)的结论解答.
试题解析:(1) t=2时,CD=2×2=4
∵∠ABC=90°,AB=20,BC=15
∴AC=
AD=AC-CD=25-4=21
(2) ① ∠CDB=90°时,
即
解得BD=12
所以CD=
t= 9÷2=4.5
②∠CBD=90°时,点D和点A重合
t=25÷2=12.5
综上所述,t= 4.5 或12.5秒
(3)①CD=BD时,如图1,过点D作DE⊥BC于E,
则CE=BE,
CD=AD=AC=×25=12.5,
t=12.5÷2=6.25;
②CD=BC时,CD=15,t=15÷2=7.5;
③BD=BC时,如图2,过点B作BF⊥AC于F,
则CF=9,
CD=2CF=9×2=18,
t=18÷2=9,
综上所述,t=6.25或7.5或9秒时,△CBD是等腰三角形.