Question

如图，抛物线的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3）点D在x轴正半轴上，且线段OD=OC
（1）求直线CD的解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；
（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点的移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）；（2）y=x²+2x+1; (3)证明见解析；（4）．

试题分析：（1）利用待定系数法求出直线解析式；
（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（3）关键是证明△CEQ与△CDO均为等腰直角三角形；
（4）如图所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时△PCF的周长最小．如图③所示，利用勾股定理求出线段C′C″的长度，即△PCF周长的最小值．
（1）C（0，1），D（1，0）
∴直线CD的解析式为；
（2）设抛物线解析式为y=a（x－2）²+3，
易得y=（x－2）²+3=x²+2x+1
（3）OC=OD，OC⊥OD，∴△OCD为等腰直角三角形，
对称轴x=2与CE交于点M，M（2，1）
易知△QMC与△QME是等腰直角三角形
∴△ CQE也是等腰直角三角形
∴△CEQ∽△CDO
（4）存在。
如图作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称性得：
PC=PC′    CF=C″F
C，C′关于直线QE对称
C′（4，5）
又C″（－1，0）   C′C″=
∴△PCF的周长最小值是