题目内容

平面直角坐标系中,抛物线轴于A、B两点(点A在点B左侧),与轴交于点C,点A、C的坐标分别为(-3,0),(0,3),对称轴直线轴于点E,点D为顶点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是直线AC下方的抛物线上一点,且,,求点P的坐标;
(3)点M是第一象限内抛物线上一点,且∠MAC=∠ADE,求点M的坐标.
(1)y=-x2-2x+3;(2)(-4,-5)或(1,0);(3)().

试题分析:(1)由已知中点A、C的坐标分别为(-3,0),(0,3),对称轴为直线x=-1,得出B点坐标,进而利用交点式求出即可求出抛物线的解析式;
(2)由已知中C点坐标,再假设出P点坐标,可求出直线PC解析式,求出R点坐标,进而根据S△PAC=2S△DAC,可得点P的坐标;
(3)过点C作CH⊥DE交DE于点H,设AC交对称轴于点G,AM交y轴于点N,由∠MAC=∠ADE,可得N点坐标,进而求出CN的方程,联立直线与抛物线方程可得M点坐标.
(1)由对称轴x=-1,A(-3,0),可得B点坐标(1,0)
设y=a(x+3)(x-1),把C(0,3)代入得,4=-8a,
解得:a=-1,
所求解析式为:y=-x2-2x+3;
(2)如图:y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,顶点D(-1,4),

由A(-3,0)、C(0,3),得直线AC解析式为y=x+3;
设对称轴交AC于点G,则G(-1,2),∴S△DAC=(4-2)×3=3,
设P点(m,-m2-2m+3),
设PC解析式为:y=qx+p,

解得:k=-m-2,
∴PC解析式为:y=(-m-2)x+3,
设PC与x轴交于点R,
∴R(,0),
∴AR=3+
∴S△APR+S△CAR=(3+)×(m2+2m-3)+×(3+)×3=+
则S△PAC=+
由S△PAC=2S△DAC,∴+=2×3,
解得:m1=-4,m2=1,
把m1=-4,m2=1分别代入y=-x2-2x+3中,
∴y1=-5,y2=0,
∴P点坐标为(-4,-5)或(1,0);
(3)由以上可得出:D(-1,4),C(0,3),E(-1,0),
如备用图:过点C作CH⊥DE交DE于点H,

∴H(-1,3),CH=DH=1,∠DCH=∠HCA=∠CA0=45°,
∴CD=,AC=3,△ACD为直角三角形,且tan∠DAC=
设AC交对称轴于点G,AM交y轴于点N,
∵∠DAC+∠ADE=∠DGC=45°,∠CAM+∠MAO=∠CAO=45°,∠ADE=∠CAM,∠DAC=∠MAO,
∴tan∠MAO=
∵A(-3,0),
∴ON=1,即N(0,1),
设直线CN解析式为:y=dx+h

解得:
∴直线CN解析式为y=x+1,
联立方程
得:x=-3(舍)或x=
∴点M的坐标为().
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