题目内容
如图，已知抛物线y=mx2+（3-m）x+m2+m交x轴于C（x1，0），D（x2，0）两点，（x1＜
x2）且（x1+1）（x2+1）=5
（1）试确定m的值；
（2）过点A（-1，-5）和抛物线的顶点M的直线交x轴于点B，求B点的坐标；
（3）设点P（a，b）是抛物线上点C到点M之间的一个动点（含C、M点），△POQ是以PO为腰、底边OQ在x轴上的等腰三角形，过点Q作x轴的垂线交直线AM于点R，连接PR．设△PQR的面积为S，求S与a之间的函数关系式．
x2）且（x1+1）（x2+1）=5（1）试确定m的值；
（2）过点A（-1，-5）和抛物线的顶点M的直线交x轴于点B，求B点的坐标；
（3）设点P（a，b）是抛物线上点C到点M之间的一个动点（含C、M点），△POQ是以PO为腰、底边OQ在x轴上的等腰三角形，过点Q作x轴的垂线交直线AM于点R，连接PR．设△PQR的面积为S，求S与a之间的函数关系式．
（1）因为抛物线y=mx2+（3-m）x+m2+m交x轴于C（x1，0），D（x2，0）两点（x1＜x2）且（x1+1）（x2+1）=5，
∴m≠0
∵x1+x2=
，x1x2=
，且△=（3-m）2-4m（m2+m）＞0，
又∵x1x2+x1+x2+1=5，
∴
+
+1=5，
解得m=-1，或m=3，而m=3使△＜0，不合题意，故舍去，
∴m=-1；
（2）由（1）知抛物线的解析式为y=-x2+4x，
∴顶点M的坐标为（2，4）．如图，
设直线AM的解析式为y=kx+b，
∵A（-1，-5），
则有
，
解得
，
∴y=3x-2，
当y=0时，x=
，
∴B点的坐标为（
，0）；
（3）依题意，点P（a，b）是抛物线上点C到点M之间的一个动点，
∴0＜a≤2，
∴Q点坐标为（2a，0），
由（2）知直线AM为y=3x-2，
∴当x=2a时，y=6a-2，
∴点R的坐标为（2a，6a-2），
过点P作PN⊥RQ于点N，
∵RQ=|6a-2|，PN=|a|，
∴S=
RQ•PN=
|6a-2|•|a|，
当0＜a＜
时，S=
(2-6a)•a=-3a2+a，
当a=
时，△PQR不存在；
当
＜a≤2时，S=
(6a-2)•a=3a2-a．
∴m≠0
∵x1+x2=
| m-3 |
| m |
| m2+m |
| m |
又∵x1x2+x1+x2+1=5，
∴
| m2+m |
| m |
| m-3 |
| m |
解得m=-1，或m=3，而m=3使△＜0，不合题意，故舍去，
∴m=-1；
（2）由（1）知抛物线的解析式为y=-x2+4x，
∴顶点M的坐标为（2，4）．如图，
设直线AM的解析式为y=kx+b，
∵A（-1，-5），
则有
|
解得
|
∴y=3x-2，
当y=0时，x=
| 2 |
| 3 |
∴B点的坐标为（
| 2 |
| 3 |
（3）依题意，点P（a，b）是抛物线上点C到点M之间的一个动点，
∴0＜a≤2，
∴Q点坐标为（2a，0），
由（2）知直线AM为y=3x-2，
∴当x=2a时，y=6a-2，
∴点R的坐标为（2a，6a-2），
过点P作PN⊥RQ于点N，
∵RQ=|6a-2|，PN=|a|，
∴S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
当0＜a＜
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
当a=
| 1 |
| 3 |
当
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
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