题目内容

【题目】如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD并于点O,经过点O的直线交AB于E,交CD于F.

(1)求证:OE=OF.
(2)连接DE,BF,则EF与BD满足什么条件时,四边形DEBF是矩形?请说明理由.

【答案】
(1)证明:∵平行四边形ABCD,

∴OD=OB,DC∥AB,

∴∠FDO=∠EBO,∠DFO=∠OEB,

在△DOF和△BOE中,

∴△DOF≌△BOE(AAS),

∴OE=OF;


(2)若EF=BD时,四边形DEBF为矩形,理由为:

∵△DOF≌△BOE,

∴DF=BE,

∵DF∥BE,

∴四边形DEBF为平行四边形,

∵EF=BD,

∴四边形DEBF为矩形.


【解析】(1)由平行四边形的对边平行且相等,得到DC与AB平行,利用两直线平行内错角相等得到两对角相等,再由对角线互相平分得到OD=OB,利用AAS得到三角形DOF与三角形BOE全等,利用全等三角形对应边相等即可得证;(2)EF与BD相等时,四边形DEBF是矩形,理由为:由DF与BE平行且相等得到四边形DEBF为平行四边形,利用对角线互相平分的平行四边形是矩形即可得证.
【考点精析】解答此题的关键在于理解平行四边形的性质的相关知识,掌握平行四边形的对边相等且平行;平行四边形的对角相等,邻角互补;平行四边形的对角线互相平分,以及对矩形的判定方法的理解,了解有一个角是直角的平行四边形叫做矩形;有三个角是直角的四边形是矩形;两条对角线相等的平行四边形是矩形.

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