Question

【题目】在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到 △A1BC1．

（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；

（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；

（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）；（3），7.

【解析】试题分析：（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，根据等边对等角得到∠CC1B=∠C1CB=45°，根据∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B得解；

（2）通过证明△ABA1∽△CBC1，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方得到，，据此解得△CBC1的面积；

（3）过点B作BD⊥AC，D为垂足，求得BD=，①当P在AC上运动至垂足点D，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1=BP1﹣BE；②当P在AC上运动至点C，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，EP1=BC+BE．

试题解析：解：（1）∵由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，

∴∠CC1B=∠C1CB=45°，

∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°；

（2）∵由旋转的性质可得：△ABC≌△A1BC1，

∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1，

∴，∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1，

∴∠ABA1=∠CBC1，

∴△ABA1∽△CBC1，

∴，

∵S△ABA1=4，∴S△CBC1=．

（3）过点B作BD⊥AC，D为垂足，

∵△ABC为锐角三角形，∴点D在线段AC上，

在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=，

①如图1，当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小．最小值为：EP1=BP1﹣BE=BD﹣BE=﹣2．

②如图2，当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为：EP1=BC+BE=5+2=7．