题目内容

【题目】如图,AC是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,点P是⊙O外一点,连接PB、AB,∠PBA=∠C.

(1)求证:PB是⊙O的切线;
(2)连接OP,若OP∥BC,且OP=8,⊙O的半径为2 ,求BC的长.

【答案】
(1)证明:连接OB,如图所示:

∵AC是⊙O的直径,
∴∠ABC=90°,
∴∠C+∠BAC=90°,
∵OA=OB,
∴∠BAC=∠OBA,
∵∠PBA=∠C,
∴∠PBA+∠OBA=90°,
即PB⊥OB,
∴PB是⊙O的切线
(2)解:∵⊙O的半径为2
∴OB=2 ,AC=4
∵OP∥BC,
∴∠C=∠BOP,
又∵∠ABC=∠PBO=90°,
∴△ABC∽△PBO,


∴BC=2
【解析】连接OB,由圆周角定理得出∠ABC=90°,得出∠C+∠BAC=90°,再由OA=OB,得出∠BAC=∠OBA,证出∠PBA+∠OBA=90°,即可得出结论;证明△ABC∽△PBO,得出对应边成比例,即可求出BC的长.

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