题目内容
如图,在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心,2为半径画⊙O,P是⊙O上一动点,且P在第一象限内,过点P作⊙O的切线与轴相交于点A,与轴相交于点B。
(1)点P在运动时,线段AB的长度页在发生变化,请写出线段AB长度的最小值,并说明理由;
(2)在⊙O上是否存在一点Q,使得以Q、O、A、P为顶点的四边形时平行四边形?若存在,请求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由。
(1)点P在运动时,线段AB的长度页在发生变化,请写出线段AB长度的最小值,并说明理由;
(2)在⊙O上是否存在一点Q,使得以Q、O、A、P为顶点的四边形时平行四边形?若存在,请求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由。
(1)线段AB长度的最小值为4
理由如下:
连接OP因为AB切⊙O于P,所以OP⊥AB
取AB的中点C,则 …………3分
当时,OC最短,
即AB最短,此时 …………4分
(2)设存在符合条件的点Q,
如图①,
设四边形APOQ为平行四边形,
因为四边形APOQ为矩形
又因为
所以四边形APOQ为正方形
所以,
在Rt△OQA中,根据,
得Q点坐标为()。 …………7分
如图②,设四边形APQO为平行四边形
因为OQ∥PA,,
所以,
又因为
所以,
因为 PQ∥OA,
所以 轴。
设轴于点H,
在Rt△OHQ中,根据,
得Q点坐标为()
所以符合条件的点Q的坐标为()或()。
理由如下:
连接OP因为AB切⊙O于P,所以OP⊥AB
取AB的中点C,则 …………3分
当时,OC最短,
即AB最短,此时 …………4分
(2)设存在符合条件的点Q,
如图①,
设四边形APOQ为平行四边形,
因为四边形APOQ为矩形
又因为
所以四边形APOQ为正方形
所以,
在Rt△OQA中,根据,
得Q点坐标为()。 …………7分
如图②,设四边形APQO为平行四边形
因为OQ∥PA,,
所以,
又因为
所以,
因为 PQ∥OA,
所以 轴。
设轴于点H,
在Rt△OHQ中,根据,
得Q点坐标为()
所以符合条件的点Q的坐标为()或()。
(1)如图,设AB的中点为C,连接OP,由于AB是圆的切线,故△OPC是直角三角形,有OP<OC,所以当OC与OP重合时,OC最短;
(2)分两种情况:如图(1),当四边形APOQ是正方形时,△OPA,△OAQ都是等腰直角三角形,可求得点Q的坐标为(,﹣),如图(2),可求得∠QOP=∠OPA=90°,由于OP=OQ,故△OPQ是等腰直角三角形,可求得点Q的坐标为(﹣,).
(2)分两种情况:如图(1),当四边形APOQ是正方形时,△OPA,△OAQ都是等腰直角三角形,可求得点Q的坐标为(,﹣),如图(2),可求得∠QOP=∠OPA=90°,由于OP=OQ,故△OPQ是等腰直角三角形,可求得点Q的坐标为(﹣,).
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