Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，以AD为直径的半圆D与BC相切。

（1）求证：OB⊥OC；
（2）若AD=12，∠BCD=60°，⊙O₁与半⊙O外切，并与BC、CD相切，求⊙O₁的面积。

Answer 1

（1）证明见解析（2）4π

（1）∵AB，BC，CD均与半圆O相切，
∴∠ABO=∠CBO，∠DCO=∠BCO．
又AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，即∠ABO+∠CBO+∠BCO+∠DCO=180°．
∴2∠CBO+2∠BCO=180°，于是∠CBO+∠BCO=90°，
∴∠BOC=180°-（∠CBO+∠BCO）=180°-90°=90°，
即OB⊥OC．                                     ………………………………4分
（2）设CD切⊙O₁于点M，连接O₁M，
则O₁M⊥CD．
设⊙O₁的半径为r．
∵∠BCD=60°，且由（1）知∠BCO=∠O₁CM，
∴∠O₁CM=30°．
在Rt△O₁CM中，CO₁=2O₁M=2r．在Rt△OCD中，OC=2OD=AD=12．
∵⊙O₁与半圆D外切，
∴OO₁=6+r，于是，由OO₁+O₁C=OC，即6+r+2r=12，
解得r=2，
因此⊙O₁的面积为4π．                           ………………………………10分
（1）证明两个锐角的和等于90°即可；
（2）求得⊙O₁的半径后代入圆的面积公式求得其面积即可．