Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．

（1）求二次函数解析式；

（2）若点Q为抛物线上一点，且S△ABQ＝S△ACQ，求点Q的坐标；

（3）若直线l：y＝mx+n与抛物线有两个交点M，N（M在N的左边），P为抛物线上一动点（不与M，N重合）．过P作PH平行于y轴交直线l于点H，若＝5，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）点Q的坐标为（，﹣）或（，）；（3）m＝±2．

【解析】

（1）抛物线与y轴交于点C（0，-3），则c=-3，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：b=-2，即可求解；
（2）分点Q在x轴下方、点Q在x轴上方两种情况，分别求解即可；
（3）MH=（t-x1），同理：NH=（x2-t），MHMN=（m2+1）（mt+n-t2+2t+3）=（m2+1）PH，即可求解．

解：（1）抛物线与y轴交于点C（0，﹣3），则c＝﹣3，

将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝﹣2，

故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）设：点Q（m，m2﹣2m﹣3），

①当点Q在x轴下方时，如图1，

S△ACQ＝×4×（﹣m2+2m+3），

S△ABQ＝S△AOC+S△QOC﹣S△AOQ＝﹣×3×m﹣×1×（﹣m2+2m+3）＝m2+m，

则：×4×（﹣m2+2m+3）＝m2+m，

解得：m＝或﹣1（舍去﹣1），故点P（，﹣）；

②当点Q在x轴上方时，如图2，

取AC的中点E（﹣，﹣），

S△ABQ＝S△ACQ，则点E、B到AQ的距离相等，BE∥AQ，

直线BE的表达式中的k值为：，

同理直线BQ的表达式为：y＝x+，

∴，

解得：x＝或﹣1（舍去﹣1），

故点Q（，）；

综上，点Q的坐标为：（，﹣）或（，）；

（3）过点H作x轴的平行线RH，过点M、N分别作RH的垂线交于点R、S，

设点M、N的横坐标分别为x1，x2，点P（t，t2﹣2t﹣3），则点H（m，mt+n），

则PH＝mt+n﹣t2+2t+3，

联立直线与抛物线的表达式并整理得：

x2﹣（m+2）x﹣3﹣n＝0，

则x1+x2＝m+2，x1x2＝﹣3﹣n

直线M、N的k值为m，即tan∠RHM＝m＝tanα，则cosα＝，

∴MH＝（t﹣x1），同理：NH＝（x2﹣t），

∴MHMN＝（m2+1）（mt+n﹣t2+2t+3）＝（m2+1）PH，

而，则m2+1＝5，

解得：m＝±2．