Question

【题目】已知，点M为二次函数y＝x2+2bx+3c图象的顶点，一次函数y＝kx﹣3（k＞0）分别交x轴，y轴于点A，B．

（1）若b＝1，c＝1，判断顶点M是否在直线y＝2x+1上，并说明理由；

（2）若该二次函数图象经过点C（1，﹣4），也经过点A，B，且满足kx﹣3＜x2+2bx+3c，求该一次函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；

（3）设点P坐标为（m，n）在二次函数y＝x2+2bx+3c上，当﹣2≤m≤2时，b﹣24≤n≤2b+4，试问：当b≥2或b≤﹣2时，对于该二次函数中任意的自变量x，函数值y是否始终大于﹣40？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）M不在直线y＝2x+1上，见解析；（2）y＝x2﹣2x﹣3，x＞3或x＜0；（3）当b≥2或b≤﹣2时，对于该二次函数中任意的自变量x，函数值y始终大于﹣40

【解析】

(1)b＝1,c＝1时,y＝x2+2x+3,求出M(﹣1,2),将点M(﹣1,2)代入y＝2x+1验证是否满足即可；

(2)由题可知B(0,﹣3),C(1,﹣4),代入y＝x2+2bx+3c得到b＝﹣1,c＝﹣1,求出A(,0),再将点A代入二次函数解析式得到﹣﹣3＝0,求得k＝1；

(3)函数对称轴为x＝﹣b,①当﹣b≤﹣2时,即b≥2,此时b﹣24＝4﹣4b+3c,则5b﹣3c＝28,2b+4＝4+4b+3c,则2b+3c＝0,求得y＝x2+8x﹣8＝(x+4)2﹣24≥﹣24＞﹣40；②当﹣b≥2时,即b≤﹣2,此时b﹣24＝4+4b+3c,则3b+3c＝﹣28,2b+4＝4﹣4b+3c,则6b﹣3c＝0,求得y＝x2﹣x﹣＝(x﹣)2﹣≥﹣＞﹣40．

解：(1)b＝1,c＝1时,y＝x2+2x+3=(x+1)2+2,

∴M(﹣1,2),

将点M(﹣1,2)代入y＝2x+1,则﹣1≠2,

∴M不在在直线y＝2x+1上；

(2)∵B过一次函数y=kx-3且交于y轴,令x=0,解得y=-3,故B(0,-3).

∵B(0,﹣3),C(1,﹣4),过二次函数y＝x2+2bx+3c.

代入得到:,解得:b＝﹣1,c＝﹣1,

∴y＝x2﹣2x﹣3,

∵A过y=kx-3并交x轴,令y=0,解得x=,故A(,0),

∴﹣﹣3＝0,

∴k＝1或k＝﹣3,

∵k＞0,

∴k＝1,

∴y＝x﹣3,

∵x﹣3＜x2﹣2x﹣3,

∴x＞3或x＜0；

(3)函数对称轴为x＝﹣b,

①当﹣b≤﹣2时,即b≥2,

此时b﹣24＝4﹣4b+3c,则5b﹣3c＝28,

2b+4＝4+4b+3c,则2b+3c＝0,

∴b＝4,c＝﹣,

∴y＝x2+8x﹣8＝(x+4)2﹣24≥﹣24＞﹣40；

②当﹣b≥2时,即b≤﹣2,此时

b﹣24＝4+4b+3c,则3b+3c＝﹣28,

2b+4＝4﹣4b+3c,则6b﹣3c＝0,

∴b＝﹣,c＝﹣,

∴y＝x2﹣x﹣＝(x﹣)2﹣≥﹣＞﹣40；

∴当b≥2或b≤﹣2时,对于该二次函数中任意的自变量x,函数值y始终大于﹣40．