Question

【题目】已知x轴上有点A（1，0），点B在y轴上，点C（m，0）为x轴上一动点且m＜﹣1，连接AB，BC，tan∠ABO=，以线段BC为直径作⊙M交直线AB于点D，过点B作直线l∥AC，过A，B，C三点的抛物线为y=ax2+bx+c，直线l与抛物线和⊙M的另一个交点分别是E，F．

（1）求B点坐标；

（2）用含m的式子表示抛物线的对称轴；

（3）线段EF的长是否为定值？如果是，求出EF的长；如果不是，说明理由．

（4）是否存在点C（m，0），使得BD=AB？若存在，求出此时m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）B的坐标为（0，2）；（2）x=；（3）见解析；（4）﹣ 或﹣

【解析】试题分析：（1）根据正切函数的定义及点A的坐标求解；

（2）因为点C、A、B在抛物线上，故代入其坐标列方程组求解即可；

（3）由二次函数的图像的对称性表示出EB的长，由圆的对称性表示出FB的长，根据EF=FB﹣EB求出EF的长，判断是否为定值即可；

（4）连接CD. ①当D在线段AB上时，因为BC为圆的直径，所以∠BDC=90°，若BD=AB，可证明CA=CB，由此可求得m的值；②当交点D在AB的延长线上时，由△AOB∽△ADC列方程求解.

解：（1）∵tan∠ABO=，且A（1，0），

∴OB=2，即：点B的坐标为（0，2）．

（2）点C（m，0），A（1，0），B（0，2）在抛物线y=ax2+bx+c上，

∴

解之得：b=﹣，a=，

∴x=﹣=．

即：抛物线的对称轴为x=

（3）∵EB=﹣（1+m），FB=﹣m，EF=FB﹣EB=1，

∴线段EF的长是定值．

（4）①当D在线段AB上时，如下图所示：连接CD

∵BC是⊙M的直径，

∴∠CDB=90°，

∵若BD=AB，即BD=DA

则易证CB=CA

∴=1﹣m

解之得m=﹣，

即：存在一点C（﹣，0），使得BD=AB．

②如图2中，当交点D在AB的延长线上时，

∵△AOB∽△ADC，

∴=，

∴=，

解得m=﹣，

∴存在一点C（﹣，0），使得BD=AB．

综上所述，满足条件的m的值为﹣或﹣．