题目内容

【题目】如图1所示,将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2,宽为1的长方形CEFD拼在一起,构成一个大的长方形ABEF,现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′,旋转角为α

1)当边CD′恰好经过EF的中点H时,求旋转角α的大小;

2)如图2GBC中点,且α90°,求证:GD′=E′D

3)小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中,△DCD′△BCD′能否全等?若能,直接写出旋转角α的大小;若不能,说明理由.

【答案】(1∠α=30°;(2)证明见解析;(3)旋转角a的值为135°315°时,△BCD′△DCD′全等.

【解析】试题分析:(1)根据旋转的性质得CE=CH=1,即可得出结论;

2)由GBC中点可得CG=CE,根据旋转的性质得∠D′CE′=∠DCE=90°CE=CE′CE,则∠GCD′=∠DCE′=90°+α,然后根据“SAS”可判断△GCD′≌△E′CD,则GD′=E′D

3)根据正方形的性质得CB=CD,而CD=CD′,则△BCD′△DCD′为腰相等的两等腰三角形,当两顶角相等时它们全等,当△BCD′△DCD′为钝角三角形时,可计算出α=135°,当△BCD′△DCD′为锐角三角形时,可计算得到α=315°

试题解析:(1

长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′∴CE=CH=1∴△CEH为等腰直角三角形,∴∠ECH=45°∴∠α=30°

2)证明:∵GBC中点,∴CG=1∴CG=CE长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′∴∠D′CE′=∠DCE=90°CE=CE′=CG∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α,在△GCD′△E′CD中,∵CD′=CD∠GCD=∠DCE′CG=CE′∴△GCD′≌△E′CDSAS),∴GD′=E′D

3)解:能.

理由如下:

四边形ABCD为正方形,∴CB=CD∵CD′=CD′∴△BCD′△DCD′为腰相等的两等腰三角形,当∠BCD′=∠DCD′时,△BCD′≌△DCD′,当△BCD′△DCD′为钝角三角形时,则旋转角α=360°-90°÷2=135°,当△BCD′△DCD′为锐角三角形时,∠BCD′=∠DCD′=∠BCD=45°,则α=360°﹣90°÷2=315°,即旋转角a的值为135°315°时,△BCD′△DCD′全等.

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