Question

（本题满分14分）如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点 M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P， 连接EP．
⑴如图②，若M为AD边的中点，①△AEM的周长=____    _cm；②求证：EP=AE+DP；

⑵随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合)，△PDM的周长是否发生变化?请说明理由．

Answer 1

⑴①6………………………………………………………………………………2分
②证明：取EP中点G，连接MG，在梯形AEPD中
∵M、G分别为AD、EP的中点
∴……………………………………………………4分
由折叠，得∠EMP=∠B=90°
又G为EP的中点
∴MG=EP………………………………………………………………6分
∴EP="AE+DP" ……………………………………………………………7分
⑵△PDM的周长保持不变 ……………………………………………………8分
证明：设AM=xcm，则DM=（4－x）cm …………………………………9分
Rt△EAM中，由
…………………………………………………10分
∵∠AME+∠AEM=90°
∠AME+∠PMD=90°
∴∠AEM=∠PMD……………………………………………………11分
又∵∠A=∠D=90°
∴△PDM∽△MAE……………………………………………………12分
∴………………………………………………………13分
即
∴……………………………………14分
∴△PDM的周长保持不变．

略