Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D．

（1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．
（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），

∴ ，

解得， ，

即此抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3；

（2）

解：∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴此抛物线顶点D的坐标是（1，﹣4），对称轴是直线x=1

（3）

解：存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形，

设点P的坐标为（1，y），

当PA=PD时，

= ，

解得，y=﹣ ，

即点P的坐标为（1，﹣ ）；

当DA=DP时，

= ，

解得，y=﹣4±2 ，

即点P的坐标为（1，﹣4﹣2 ）或（1，﹣4+2 ）；

当AD=AP时，

= ，

解得，y=±4，

即点P的坐标是（1，4）或（1，﹣4），

当点P为（1，﹣4）时与点D重合，故不符合题意，

由上可得，以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（1，﹣ ）或（1，﹣4﹣2 ）或（1，﹣4+2 ）或（1，4）

【解析】（1）根据抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），可以求得抛物线的解析式；（2）根据（1）中的解析式化为顶点式，即可得到此抛物线顶点D的坐标和对称轴；（3）首先写出存在，然后运用分类讨论的数学思想分别求出各种情况下点P的坐标即可．本题考查二次函数综合题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答问题．
【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的图象(二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点)．