题目内容
【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．
（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）
解：∵抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），
∴ 
，
解得， 
，
即此抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3；
（2）
解：∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴此抛物线顶点D的坐标是（1，﹣4），对称轴是直线x=1
（3）
解：存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形，
设点P的坐标为（1，y），
当PA=PD时，
= 
，
解得，y=﹣ 
，
即点P的坐标为（1，﹣ ）；
当DA=DP时，
= ，
解得，y=﹣4±2 
，
即点P的坐标为（1，﹣4﹣2 ）或（1，﹣4+2 ）；
当AD=AP时，
= ，
解得，y=±4，
即点P的坐标是（1，4）或（1，﹣4），
当点P为（1，﹣4）时与点D重合，故不符合题意，
由上可得，以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（1，﹣ ）或（1，﹣4﹣2 ）或（1，﹣4+2 ）或（1，4）
【解析】（1）根据抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），可以求得抛物线的解析式；（2）根据（1）中的解析式化为顶点式，即可得到此抛物线顶点D的坐标和对称轴；（3）首先写出存在，然后运用分类讨论的数学思想分别求出各种情况下点P的坐标即可．本题考查二次函数综合题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答问题．
【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的图象(二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点)．
