题目内容
【题目】某数学兴趣小组在数学课外活动中,研究三角形和正方形的性质时,做了如下探究：在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.
(1)观察猜想
如图①，当点D在线段BC上时。
①BC与CF的位置关系为：___；
②BC,CD,CF之间的数量关系为：___;(将结论直接写在横线上)
(2)数学思考
如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立?若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明；
(3)拓展延伸
如图③,当点D在线段BC的延长线上时,延长BA交CF于点G,连接GE.若已知AB=
,CD=
BC，请求出GE的长。
【答案】（1）①垂直；②BC=CF+CD；(2)CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC；（3）
.
【解析】
（1）①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；②由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根据余角的性质即可得到结论；
（2）根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论．
（3）根据等腰直角三角形的性质得到BC=
AB=4,AH=
BC=2，求得DH=3，根据正方形的性质得到AD=DE，∠ADE=90°，根据矩形的性质得到NE=CM，EM=CN，由角的性质得到∠ADH=∠DEM，根据全等三角形的性质得到EM=DH=3，DM=AH=2，等量代换得到CN=EM=3，EN=CM=3，根据等腰直角三角形的性质得到CG=BC=4，根据勾股定理即可得到结论．
(1)①正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB与△FAC中,
AD=AF，∠BAD=∠CAF，AB=AC，
∴△DAB≌△FAC(SAS)，
∴∠B=∠ACF，
∴∠ACB+∠ACF=90°，即BC⊥CF；
故答案为：垂直；
②△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，
∵BC=BD+CD，
∴BC=CF+CD；
故答案为：BC=CF+CD；
(2)CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC.
∵正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB与△FAC中,
AD=AF，∠BAD=∠CAF，AB=AC，
∴△DAB≌△FAC(SAS)，
∴∠ABD=∠ACF，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°.
∴∠ABD=180°45=135°，
∴∠BCF=∠ACF∠ACB=135°45°=90°，
∴CF⊥BC.
∵CD=DB+BC，DB=CF，
∴CD=CF+BC.
(3)过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，
∵∠BAC=90，AB=AC，
∴BC=AB=4,AH=BC=2，
∴CD=
BC=1,CH=BC=2，
∴DH=3，
由(2)证得BC⊥CF，CF=BD=5，
∵四边形ADEF是正方形,
∴AD=DE,∠ADE=90，
∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，
∴四边形CMEN是矩形，
∴NE=CM，EM=CN，
∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90，
∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90，
∴∠ADH=∠DEM，
在△ADH与△DEM中,
∠ADH=∠DEM，∠AHD=∠DME，AD=DE，
∴△ADH≌△DEM(AAS)，
∴EM=DH=3，DM=AH=2，
∴CN=EM=3，EN=CM=3，
∵∠ABC=45，
∴∠BGC=45，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴CG=BC=4，
∴GN=1，
∴EG=
.
