题目内容
【题目】如图，在
中，
，
，
．点
在
上以每秒
个单位长度的速度向终点
运动．点
沿
方向以每秒1个单位长度的速度运动，当点不与点
重合时，连结
，以，
为邻边作
．当点停止运动时，点也随之停止运动，设点的运动时间为
，与
重叠部分的图形面积为
．
（1）点到边
的距离
，点到边
的距离 ；(用含
的代数式表示)
（2）当点
落在线段上时，求的值；
（3）求与之间的函数关系式；
（4）连结
，当与的一边平行或垂直时，直接写出的值．
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
；（4）
或
或
【解析】
（1）过
作
，勾股定理求出AC，表达出
，
，利用锐角三角函数求出PE，AE即可解答；
（2）当点
落在线段
上时，证明四边形PMBQ是矩形，从而得到
，解出t的值即可；
（3）分两种情况讨论，①当
时，
与
重叠面积为
，根据已有数据即可计算得出；②当
时，则与重叠面积为
，根据已有数据计算即可；
（4）①如图，当
时，证明四边形EPMQ是矩形，得到
解出t即可；②当
时，延长
交
于X，通过
，利用锐角三角函数得出
，以及AQ的值，列出方程
即可解出t的值；③当
，证明四边形
是平行四边形，列出方程
，即可解出t的值．
（1）过作，由题意可知
，
∵
，
，
，
∴AC=
，
∴，，
∴PE=
，AE=
，
则到
的距离为，到的距离为．
故答案为：；；
（2）当点落在线段上时，
∵四边形PMBQ是平行四边形，
∴PM∥BQ，PM⊥BC，
∴四边形PMBQ是矩形，
∴
，
，
，
解得：
（3）①当时
与重叠面积为
由（1）可知
，
②当时，设PM交BC于点N，
则与重叠面积为
∵由（1）可知，，，
．
综上所述，；
（4）①如图，当时，则
．
由（1）得：
，．
∵PM∥EQ，EP∥MQ，且QM⊥AB，
∴四边形EPMQ是矩形，
∴
，解得：．
②当时，延长交于X
，
．
，
又
．
又
解得：．
③当
，
，
四边形是平行四边形．
．
．
综上所述，当
与的一边平行或垂直时，或或．
【题目】某种型号的温控水箱的工作过程是：接通电源后，在初始温度20℃下加热水箱中的水；当水温达到设定温度80℃时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到20℃时，再次自动加热水箱中的水至80℃时，加热停止；当水箱中的水温下降到20℃时，再次自动加热，…，按照以上方式不断循环．
小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究．发现水温y是时间x的函数，其中y（单位：℃）表示水箱中水的温度．x（单位：min）表示接通电源后的时间．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）下表记录了32min内14个时间点的温控水箱中水的温度y随时间x的变化情况
接通电源后的时间x（单位：min） | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 | 10 | 16 | 18 | 20 | 21 | 24 | 32 | … |
水箱中水的温度y（单位：℃） | 20 | 35 | 50 | 65 | 80 | 64 | 40 | 32 | 20 | m | 80 | 64 | 40 | 20 | … |
m的值为 ；
（2）①当0≤x≤4时，写出一个符合表中数据的函数解析式 ；
当4＜x≤16时，写出一个符合表中数据的函数解析式 ；
②如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当0≤x≤32时，温度y随时间x变化的函数图象：
（3）如果水温y随时间x的变化规律不变，预测水温第8次达到40℃时，距离接通电源 min．
