题目内容

【题目】如图,已知AB是圆O的直径,弦CDAB,垂足为H,与AC平行的圆O的一条切线交CD的延长线于点M,交AB的延长线于点E,切点为F,连接AF交CD于点N.

(1)求证:CA=CN;

(2)连接DF,若cosDFA=,AN=,求圆O的直径的长度.

【答案】(1)证明见解析;(2)

【解析】

试题分析:(1)连接OF,根据切线的性质结合四边形内角和为360°,即可得出M+FOH=180°,由三角形外角结合平行线的性质即可得出M=C=2OAF,再通过互余利用角的计算即可得出CAN=90°﹣OAF=ANC,由此即可证出CA=CN;

(2)连接OC,由圆周角定理结合cosDFA=,AN=,即可求出CH、AH的长度,设圆的半径为r,则OH=r﹣6,根据勾股定理即可得出关于r的一元一次方程,解之即可得出r,再乘以2即可求出圆O直径的长度.

试题解析:(1)证明:连接OF,则OAF=OFA,如图所示.

ME与O相切,OFME.CDAB,∴∠M+FOH=180°.

∵∠BOF=OAF+OFA=2OAF,FOH+BOF=180°,∴∠M=2OAF.

MEAC,∴∠M=C=2OAF.

CDAB,∴∠ANC+OAF=BAC+C=90°,∴∠ANC=90°﹣OAF,BAC=90°﹣C=90°﹣2OAF,∴∠CAN=OAF+BAC=90°﹣OAF=ANC,CA=CN.

(2)连接OC,如图2所示.

cosDFA=DFA=ACH,=.设CH=4a,则AC=5a,AH=3a,CA=CN,NH=a,AN= = = a=a=2,AH=3a=6,CH=4a=8.

设圆的半径为r,则OH=r﹣6,在RtOCH中,OC=r,CH=8,OH=r﹣6,OC2=CH2+OH2,r2=82+(r﹣6)2,解得:r=圆O的直径的长度为2r=

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