Question

如图,抛物线与x轴交于A、C两点,与y轴交于B点．

（1）求△AOB的外接圆的面积；
（2）若动点P从点A出发,以每秒1个单位沿射线AC方向运动；同时,点Q从点B出发,以每秒0.5个单位沿射线BA方向运动,当点P到达点C处时,两点同时停止运动．问当t为何值时,以A、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似？
（3）若M为线段AB上一个动点,过点M作MN平行于y轴交抛物线于点N．
问：是否存在这样的点M,使得四边形OMNB恰为平行四边形？若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由．

Answer 1

（1）25π；（2）t＝以A、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似；（3）不存在这样的点M,使得四边形OMNB恰为平行四边形,理由见解析．

试题分析：(1)先求出A,B坐标,则△AOB的外接圆的半径为AB,根据圆的面积公式求解即可；
（2）根据相似三角形对应边的比相等列出比例式,求解即可；
（3）若四边形OMNB为平行四边形,根据平行四边形的性质得出MN=OB=8,据此列出方程(x－8)－(x²－x－8)＝8,由判别式△＜0即可判断出不存在这样的点M,使得四边形OMNB恰为平行四边形．
试题解析：（1）∵,
∴当y=0时,=0,解得x=6或﹣8,
∴A（6,0）,B（0,－8）
∴OA＝6,OB＝8,∴AB＝10
∴S＝π·(5)²＝25π．
（2）AP＝t,AQ＝10－0.5t,易求AC=8,∴0≤t≤8
若△APQ∽△AOB,则．∴t＝．
若△AQP∽△AOB,则．∴t＝＞8（舍去,）．
∴当t＝时,以A、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似．
（3）直线AB的函数关系式为 ．
∵MN∥y轴
∴设点M的横坐标为x,则M（x,x－8）,N（x,x²－x－8）．
若四边形OMNB为平行四边形,则MN＝OB＝8
∴(x－8)－(x²－x－8)＝8
即x²－6x＋12＝0
∵△＜0,∴此方程无实数根,
∴不存在这样的点M,使得四边形OMNB恰为平行四边形．