题目内容

【题目】如图,点O是△ABC内一点,连结OB、OC,并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结,得到四边形DEFG.
(1)求证:四边形DEFG是平行四边形;
(2)若M为EF的中点,OM=3,∠OBC和∠OCB互余,求DG的长度.

【答案】
(1)证明:∵D、G分别是AB、AC的中点,

∴DG∥BC,DG= BC,

∵E、F分别是OB、OC的中点,

∴EF∥BC,EF= BC,

∴DG=EF,DG∥EF,

∴四边形DEFG是平行四边形


(2)解:∵∠OBC和∠OCB互余,

∴∠OBC+∠OCB=90°,

∴∠BOC=90°,

∵M为EF的中点,OM=3,

∴EF=2OM=6.

由(1)有四边形DEFG是平行四边形,

∴DG=EF=6


【解析】(1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EF= BC,DG∥BC且DG= BC,从而得到DE=EF,DG∥EF,再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可;(2)先判断出∠BOC=90°,再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,求出EF即可.

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