题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,OA⊥OB,AB⊥x轴于点C,点A( ,1)在反比例函数y= 的图象上.

(1)求反比例函数y= 的表达式;
(2)在x轴的负半轴上存在一点P,使得SAOP= SAOB , 求点P的坐标;
(3)若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE.直接写出点E的坐标,并判断点E是否在该反比例函数的图象上.

【答案】
(1)

解:∵点A( ,1)在反比例函数y= 的图象上,

∴k= ×1=

∴反比例函数表达式为y= .


(2)

解:∵A( ,1),AB⊥x轴于点C,

∴OC= ,AC=1,

∵OA⊥OB,OC⊥AB,

∴∠A=∠COB,

∴tan∠A= =tan∠COB=

∴OC2=ACBC,即BC=3,

∴AB=4,

∴SAOB= × ×4=2

∴SAOP= SAOB=

设点P的坐标为(m,0),

×|m|×1= ,解得|m|=2

∵P是x轴的负半轴上的点,

∴m=﹣2

∴点P的坐标为(﹣2 ,0)


(3)

解:由(2)可知tan∠COB= = =

∴∠COB=60°,

∴∠ABO=30°,

∵将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE,

∴∠OBD=60°,

∴∠ABD=90°,

∴BD∥x轴,

在Rt△AOB中,AB=4,∠ABO=30°,

∴AO=DE=2,OB=DB=2 ,且BC=3,OC=

∴OD=DB﹣OC= ,BC﹣DE=1,

∴E(﹣ ,﹣1),

∵﹣ ×(﹣1)=

∴点E在该反比例函数图象上


【解析】(1)由点A的坐标,利用待定系数法可求得反比例函数表达式;(2)由条件可求得∠A=∠COB,利用三角函数的定义可得到OC2=ACBC,可求得BC的长,可求得△AOB的面积,设P点坐标为(m,0),由题意可得到关于m的方程,可求得m的值;(3)由条件可求得∠ABD=90°,则BD∥x轴,由BD、DE的长,可求得E点坐标,代入反比例函数解析式进行判断即可.

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