Question

已知一元二次方程x²－4x＋k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x²－4x＋k＝0与x²＋mx－1＝0有一个相同的根，求此时m的值．

Answer 1

（1）；（2）0或

试题分析：（1）根据方程有两个不相等的实数根可得根的判别式△，即可得到关于k的不等式，解出即可；
（2）先找出符合条件的最大整数k，即可求得一元二次方程x²－4x＋k＝0的解，再根据两个方程有一个相同的根，即可求得结果.
（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴b²－4ac＝16－4k>0，∴；
（2）当k取最大整数时，即k＝3，这时方程为x²－4x＋3＝0，∴x₁＝1，x₂＝3.
当相同根为x＝1时，有1＋m－1＝0，m＝0，
当相同根为x＝3时，有9＋3m－1＝0，
∴m的值是0或
点评：解题的关键是熟记一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．