题目内容
【题目】某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量P（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式p＝
x+8．从市场反馈的信息发现，该食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表：
销售价格x（元/千克） | 2 | 4 | …… | 10 |
市场需求量q（百千克） | 12 | 10 | …… | 4 |
已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克，
（1）直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种食材能全部售出；当每天的产量大于市场需求量时，只能售出市场需求的量，而剩余的食材由于保质期短作废弃处理；
①当每天的食材能全部售出时，求x的取值范围；
②求厂家每天获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当x为多少时，y有最大值，并求出最大利润．
【答案】（1）q＝﹣x+14，其中2≤x≤10；（2）①2≤x≤4，②y＝
；（3）x＝
时取最大值，最大利润
百元．
【解析】
（1）根据表格数据，设q与x的函数关系式为：q＝kx+b，待定系数法即可求得；
（2）①根据题意，p≤q，计算即可求得x的取值范围；
②根据销售利润=销售量
（售价-进价），列出厂家每天获得的利润
（百元）与销售价格
的函数关系；
（3）根据（2）中的条件分情况讨论即可.
（1）由表格的数据，设q与x的函数关系式为：q＝kx+b
根据表格的数据得
，解得
，
故q与x的函数关系式为：q＝﹣x+14，其中2≤x≤10
（2）①当每天的半成品食材能全部售出时，有p≤q
即
x+8≤﹣x+14，解得x≤4
又2≤x≤10，所以此时2≤x≤4
②由①可知，当2≤x≤4时，
y＝（x﹣2）p＝（x﹣2）（x+8）＝x2+7x﹣16
当4＜x≤10时，y＝（x﹣2）q﹣2（p﹣q）
＝（x﹣2）（﹣x+14）﹣2[x+8﹣（﹣x+14）]
＝﹣x2+13x﹣16
即有y＝
（3）当2≤x≤4时，
y＝x2+7x﹣16的对称轴为x＝
＝﹣7
∴当2≤x≤4时，随x的增大而增大
∴x＝4时有最大值，y＝20
当4＜x≤10时
y＝﹣x2+13x﹣16＝﹣（x﹣）2+，
∵﹣1＜0，＞4
∴x＝时取最大值
即此时y有最大利润百元．
