Question

如图，在?ABCD中，AB=5，AD=15，sin∠ABC=

4

5

．点P从点B出发沿B→A→D以每秒2个单位长的速度向点D匀速运动；同时点Q从点C出发沿C→B以每秒3个单位长的速度向点B匀速运动，当点Q到达点B时，两点P、Q停止运动．过点Q作QE⊥BC交DC的延长线于点E，分别连接BE、PQ．设P、Q的运动时间为t（秒）．
（1）当P在AD上运动时，t为何值时，PQ∥AB？
（2）在整过运动过程中，四边形PBEQ能否为梯形？若能，求出此时t的值；若不能，请你说明理由．

Answer 1

分析：（1）设P点、Q点分别运动到如图的位置时，PQ∥AB，则有AP=BQ，利用这两条线段相等建立等量关系，就可以求出
PQ∥AB是t的值．
（2）利用三角函数值表示出BF的值，因为PQ∥BE，∴∠PQB=∠EBC所以这两个角的正切值也相等建立等量关系，从而求出是梯形是t的值．

解答：解：（1）当P在AD上，PQ∥AB时，∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∴四边形ABQP是平行四边形
∴AP=BQ
∵AP=2t-5，BQ=15-3t
∴2t-5=15-3t
∴t=4

（2）作PF⊥BC于点F
∠PFB=∠PFC=90°
∵四边形PBEQ是梯形
∴PQ∥BE，∠ABC=∠BCE
∴∠PQB=∠EBQ
∴tan∠PQB=tan∠EBQ
∴

PF

QF

=

QE

BQ

∵sin∠ABC=

4

5

∴sin∠BCE=

4

5

，

PF

PB

=

4

5

，

EQ

EC

=

4

5

，且PB=2t，CQ=3t
∴

PF

2t

=

4

5

即PF=

8

5

t
在Rt△BPF中，由勾股定理得：
BF=

6

5

t
在Rt△ECQ中，设EQ=4x，EC=5x，由勾股定理求得：
x=t，∴EQ=4t，
∴FQ=15-4t-

6

5

t，BQ=15-3t
∴

8 5 t

15-3t- 6 5 t

=

4t

15-3t

解得：t₁=0（不符合题意），t₂=3
∴t=3时，四边形PBEQ为梯形．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，梯形的性质，勾股定理、解直角三角形的运用．