Question

如图，抛物线y=

1

2

x²+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D（5，2），连接BC、AD．
（1）求C点的坐标及抛物线的解析式；
（2）将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后再沿x轴对折得到△BEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；
（3）设过点E的直线交AB边于点P，交CD边于点Q．问是否存在点P，使直线PQ分梯形ABCD的面积为1：3两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵四边形OBHC为矩形，
∴CD∥AB，
又D（5，2），
∴C（0，2），OC=2．
∴

n=2 1 2 •52+5•m+n=2

，
解得

m=- 5 2 n=2

，
∴抛物线的解析式为：y=

1

2

x²-

5

2

x+2；

（2）点E落在抛物线上．理由如下：
由y=0，得

1

2

x²-

5

2

x+2=0．
解得x₁=1，x₂=4．
∴A（4，0），B（1，0）．
∴OA=4，OB=1．
由矩形性质知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=90°，
由旋转、轴对称性质知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°，
∴点E的坐标为（3，-1）．
把x=3代入y=

1

2

x²-

5

2

x+2，得y=

1

2

•3²-

5

2

•3+2=-1，
∴点E在抛物线上；

（3）存在点P（a，0）．记S_梯形BCQP=S₁，S_梯形ADQP=S₂，易求S_梯形ABCD=8．
当PQ经过点F（3，0）时，易求S₁=5，S₂=3，
此时S₁：S₂不符合条件，故a≠3．
设直线PQ的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

3k+b=-1 ak+b=0

，
解得

k= 1 a-3 b=- a a-3

，
∴y=

1

a-3

x-

a

a-3

．
由y=2得x=3a-6，
∴Q（3a-6，2）
∴CQ=3a-6，BP=a-1，s₁=

1

2

（3a-6+a-1）•2=4a-7．
下面分两种情形：
①当S₁：S₂=1：3时，S₁=

1

4

S_梯形ABCD=

1

4

×8=2；
∴4a-7=2，解得a=

9

4

；
②当S₁：S₂=3：1时，S₁=

3

4

S_梯形ABCD=

3

4

×8=6；
∴4a-7=6，解得a=

13

4

；
综上所述：所求点P的坐标为（

9

4

，0）或（

13

4

，0）