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我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”；如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，已知“蛋圆”是由抛物线y=ax2-2ax+c的一部分和圆心为M的半圆合成的．点A、B、C分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点A的坐标为（-1，0），AB为半圆的直径，
（1）点B的坐标为（______，______）；点C的坐标为（______，______），半圆M的半径为______；
（2）若P是“蛋圆”上的一点，且以O、P、B为顶点的三角形是等腰直角三角形求符合条件的点P的坐标，以及所对应的a的值；
（3）已知直线y=x-
7
2
是“蛋圆”的切线，求满足条件的抛物线解析式．
（1）由抛物线y=ax2-2ax+c知，对称轴 x=1；
∴点M的坐标为（1，0）；
∵点A、B关于点M对称，且A（-1，0）、M（1，0）
∴B（3，0），半圆的半径 r=AM=BM=2；
连接CM，在Rt△OCM中，CM=r=2，OM=1，OC=
CM2-OM2
=
22-12
=
3
，即 C（0，
3
）；
故答案：B（3，0）、C（0，
3
），半圆M的半径为2．

（2）因为抛物线y=ax2-2ax+c经过A（-1，0），有：
a+2a+c=0，c=-3a
∴抛物线：y=ax2-2ax-3a；
Ⅰ、当点P在半圆上时；
①点P是直角顶点，如右图（图Ⅰ-①）；
若△OBP是等腰直角三角形，那么点P必在OB的中垂线上，即 AD=BD=PD=
3
2
；
在Rt△OPD中，OP=2，OD=
3
2
，则 PD=
OP2-OD2
=
22-(
3
2
)2
≠
3
2
，
线段PD长的前后结论矛盾，所以这种情况不成立；
②点O是直角顶点；
由（1）知：OC=
3
＜OB，因此这种情况也不成立．
Ⅱ、点P在抛物线上时；
①点P是直角顶点，如右图（图Ⅱ-①）；
若△OPB是等腰直角三角形，则 OD=BD=PD=
3
2
，即 P（
3
2
，-
3
2
）；
将点P的坐标代入y=ax2-2ax-3a中，有：
a×（
3
2
）2-2a×
3
2
-3a=-
3
2
，
解得：a=
2
5
；
②点O是直角顶点，那么点P必为抛物线与y轴的交点（如图Ⅱ-②）；
若△OPB为等腰直角三角形，则 OP=OB=3，即 P（0，-3）；
同①，求得：a=1．
综上，当P（0，-3）时，a=1；当P（
3
2
，-
3
2
）时，a=
2
5
．

（3）联立直线y=x-
7
2
与抛物线y=ax2-2ax-3a，有：
x-
7
2
=ax2-2ax-3a，
化简，得：ax2-（2a+1）x-3a+
7
2
=0
∴△=（2a+1）2-4a（-3a+
7
2
）=16a2-10a+1=0，
解得：a=
1
2
或a=
1
8
；
∴满足条件的抛物线的解析式为：y=
1
2
x2-x-
3
2
、y=
1
8
x2-
1
4
x-
3
8
．
练习册系列答案
相关题目
如图，抛物线y=
1
2
x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D（5，2），连接BC、AD．
（1）求C点的坐标及抛物线的解析式；
（2）将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后再沿x轴对折得到△BEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；
（3）设过点E的直线交AB边于点P，交CD边于点Q．问是否存在点P，使直线PQ分梯形ABCD的面积为1：3两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
如图，二次函数y=ax2+bx+2的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y=
2
x
在第一象限的图象相交于D、E两点，已知点D、E分别在正方形ABCO的边AB、BC上．
（1）求点A、D、E的坐标；
（2）求这个二次函数的解析式，并用配方法求它的图象的顶点坐标．
如图，抛物线y=
3
8
x2-
3
4
x+c分别交x轴的负半轴和正半轴于点A（x1，0）、B（x2，0），交y轴的负轴于点C，且tan∠OAC=2tan∠OBC，动点P从点A出发向终点B运动，同时动点Q从点B出发向终点C运动，P、Q的运动速度均为每秒1个单位长度，且当其中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动的时间是t秒．

（1）试说明OB=2OA；
（2）求抛物线的解析式；
（3）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（4）当t为何值时，△PBQ是等腰三角形？
已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：
x…-3-2-101
y…-60406
（1）求二次函数解析式，并写出顶点坐标；
（2）在直角坐标系中画出该抛物线的图象
（3）若该抛物线上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）的横坐标满足x1＜x2＜-1，试比较y1与y2的大小．
已知抛物线y=x2-mx+m-2．
（1）求证：此抛物线与x轴有两个不同的交点；
（2）若m是整数，抛物线y=x2-mx+m-2与x轴交于整数点，求m的值；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为A，抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为B．若m为坐标轴上一点，且MA=MB，求点M的坐标．
如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，-2），交x轴于A、B两点，其中A（-1，0），直线l：x=m（m＞1）与x轴交于D．
（1）求二次函数的解析式和B的坐标；
（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
在一个袋子中装入大小、形状完全相同的若干个小球，要使得摸到红球的概率是20%，请你设计一个实验方案：______．
如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4，OC=2．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA．
（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；
（2）求t为何值时，△DPA的面积最大，最大为多少？
（3）在点P从O向A运动的过程中，△DPA能否成为直角三角形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；
（4）请直接写出随着点P的运动，点D运动路线的长．

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