题目内容

已知:抛物线y=ax2+bx+4的对称轴为x=-1,且与x轴相交于点A、B,与y轴相交于点C,其中点A的坐标为(-3,0),
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若该抛物线的顶点为D,求△ACD的面积;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得以A、B、C、P为顶点的四边形是梯形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)由题意得
-
b
2a
=-1
9a-3b+4=0

解得
a=-
4
3
b=-
8
3

∴抛物线的解析式为y=-
4
3
x2-
8
3
x+4.

(2)∵D是抛物线y=-
4
3
x2-
8
3
x
+4的顶点
∴点D的坐标为(-1,
16
3

设AC与抛物线对称轴的交点为E
∴DE=
16
3
-
8
3
=
8
3

∴S△ACD=S△CDE+S△ADE=
1
2
×
8
3
×2+
1
2
×
8
3
×1=4.

(3)设抛物线的对称轴与x轴的交点为H
若PCAB,则点P(-1,4);
若PBAC,△PHB△COA,
PH
CO
=
BH
AO
,即
PH
4
=
2
3

解得PH=
8
3

∴P(-1,-
8
3
);
若PABC,则△PHA△COB,
PH
CO
=
AH
BO

PH
4
=
2
1

解得PH=8
∴P(-1,-8).
因此符合条件的P点有三个:(-1,4);(-1,-
8
3
);(-1,-8).
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