Question

(1)已知方程x²＋px＋q＝0(p²－4q≥0)的两根为x₁、x₂，求证：x₁＋x₂＝－p，x₁·x₂＝q．(2)已知抛物线y＝x²＋px＋q与x轴交于点A、B，且过点(―1，―1)，设线段AB的长为d，当p为何值时，d²取得最小值并求出该最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）证明见解析(2) 当p=2时，d ²的最小值是4

【解析】（1）证明：∵a=1，b=p，c=q，p²﹣4q≥0，

∴。

（2）解：把（﹣1，﹣1）代入y=x²+px+q得p﹣q=2，即q=p﹣2。

          设抛物线y=x²+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x₁，0）、（x₂，0）。

∵d=|x₁﹣x₂|，

∴d²=（x₁﹣x₂）²=（x₁+x₂）²﹣4 x₁•x₂=p²﹣4q=p²﹣4p+8=（p﹣2）²+4。

∴当p=2时，d ²的最小值是4。

（1）根据一元二次方程根与系数的关系可直接证得。

【教材中没有元二次方程根与系数的关系可先根据求根公式得出x₁、x₂的值，再求出两根的和与积即可】

（2）把点（﹣1，﹣1）代入抛物线的解析式，再由d=|x₁﹣x₂|可得d²关于p的函数关系式，应用二次函数的最值原理即可得出结论。