Question

【题目】如图，点C将线段AB分成两部分，若AC2＝BCAB(AC＞BC)，则称点C为线段AB的黄金分割点.某数学兴趣小组在进行抛物线课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金抛物线”，类似地给出“黄金抛物线”的定义：若抛物线y＝ax2+bx+c，满足b2＝ac(b≠0)，则称此抛物线为黄金抛物线.

(Ⅰ)若某黄金抛物线的对称轴是直线x＝2，且与y轴交于点(0，8)，求y的最小值；

(Ⅱ)若黄金抛物线y＝ax2+bx+c(a＞0)的顶点P为(1，3)，把它向下平移后与x轴交于A(+3，0)，B(x0，0)，判断原点是否是线段AB的黄金分割点，并说明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)y有最小值为6；(Ⅱ)原点是线段AB的黄金分割点，理由见解析.

【解析】

(Ⅰ)根据对称轴确定a和b的关系，再根据已知条件即可求解；

(Ⅱ)根据抛物线的顶点坐标确定x0的值，再根据黄金分割的定义即可判断.

(Ⅰ)∵黄金抛物线的对称轴是直线x＝2，

∴﹣＝2，

∴b＝﹣4a，又b2＝ac

∴16a2＝ac.

且与y轴交于点(0，8)，

∴c＝8.

∴a＝，b＝﹣2.

∴y＝x2﹣2x+8

＝(x﹣2)2+6，

∵＞0，

∴y有最小值为6.

(Ⅱ)原点是线段AB的黄金分割点.理由如下：

∵黄金抛物线y＝ax2+bx+c(a＞0)的顶点P为(1，3)，

把它向下平移后与x轴交于A(+3，0)，B(x0，0)，

∴x0＝﹣1﹣.

∴OA＝3+，OB＝1+，AB＝4+2.

OA2＝(3+)2＝14+6.

OBAB＝(1+ )(4+2)＝14+6.

∴OA2＝OBAB.

∴原点是线段AB的黄金分割点.