题目内容

【题目】如图,已知抛物线ymx24mx+3mm0)与x轴的交点为AB,与y轴的交点为CD为抛物线的顶点.

1)直接写出各点坐标C      ),D      );(用m表示)

2)试说明无论m为何值,抛物线一定经过两个定点并求出这两个定点的坐标;

3将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到AC′,求点C′的坐标;

连接DC'AD,是否存在m,使得△ADC′为等腰三角形?若存在,请求出m;若不存在,请说明理由.

【答案】103m2,﹣m;(2)见解析;(3C'坐标为(1+3m1),存在mm的值为(2+)或(2)时,△ADC′为等腰三角形.

【解析】

1)令x=0即求得点C坐标,对抛物线解析式进行配方即求得顶点D坐标.
2)对抛物线解析式进行因式分解,得y=mx-1)(x-3),由于m大于0,所以当(x-1)(x-3),即有y=0,求得抛物线过定点(10)和(30).
3)①由哦(2)得A10),即OA=1.过点C'x轴垂线C'E,易证AEC'≌△COA,所以AE=CO=3mC'E=OA=1,求得点C'1+3m1).
②由两点间距离公式用m表示AC'2AD2C'D2,易得AC'≠ADAD≠C'D,所以ADC'要成为等腰三角形,只能AC'=C'D,把含m的式子代入解方程即求得m的值.

1)∵x0时,ymx24mx+3m3m

C03m

ymx24mx+3mmx22m

D2,﹣m

故答案为:03m2,﹣m

2)证明:ymx24mx+3mmx24x+3)=mx1)(x3

m0

∴当(x1)(x3)=0时,y0

解得:x11x23

∴抛物线一定经过定点(10)和(30

3

过点C'C'Ex轴于点E

∴∠AEC'90°

由(2)可得,A10),B30

OA1

C03m

OC3m

∵将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到AC

AC'AC,∠CAC'90°

∴∠OAC+C'AE=∠OAC+ACO90°

∴∠C'AE=∠ACO

在△AEC'与△COA

∴△AEC'≌△COAAAS

AECO3mC'EOA1

OEOA+AE1+3m

∴点C'坐标为(1+3m1

存在m,使得△ADC′为等腰三角形.

A10),C'1+3m1),D2,﹣m

AC'2=(1+3m12+129m2+1AD2=(212+(﹣m21+m2C'D2=(1+3m22+1+m210m24m+2

AC'2AD2AD2C'D2

AC'ADADC'D

∴△ADC′为等腰三角形时,AC'C'D

9m2+110m24m+2

解得:m12+m22

m的值为(2+)或(2﹣)时,△ADC′为等腰三角形.

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