题目内容
【题目】如图,已知抛物线y=mx2﹣4mx+3m(m>0)与x轴的交点为A,B,与y轴的交点为C,D为抛物线的顶点.
(1)直接写出各点坐标C( , ),D( , );(用m表示)
(2)试说明无论m为何值,抛物线一定经过两个定点并求出这两个定点的坐标;
(3)①将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到AC′,求点C′的坐标;
②连接DC',AD,是否存在m,使得△ADC′为等腰三角形?若存在,请求出m;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)0,3m,2,﹣m;(2)见解析;(3)①点C'坐标为(1+3m,1),②存在m,m的值为(2+)或(2﹣
)时,△ADC′为等腰三角形.
【解析】
(1)令x=0即求得点C坐标,对抛物线解析式进行配方即求得顶点D坐标.
(2)对抛物线解析式进行因式分解,得y=m(x-1)(x-3),由于m大于0,所以当(x-1)(x-3),即有y=0,求得抛物线过定点(1,0)和(3,0).
(3)①由哦(2)得A(1,0),即OA=1.过点C'作x轴垂线C'E,易证△AEC'≌△COA,所以AE=CO=3m,C'E=OA=1,求得点C'(1+3m,1).
②由两点间距离公式用m表示AC'2、AD2、C'D2,易得AC'≠AD,AD≠C'D,所以△ADC'要成为等腰三角形,只能AC'=C'D,把含m的式子代入解方程即求得m的值.
(1)∵x=0时,y=mx2﹣4mx+3m=3m
∴C(0,3m)
∵y=mx2﹣4mx+3m=m(x﹣2)2﹣m
∴D(2,﹣m)
故答案为:0,3m,2,﹣m.
(2)证明:y=mx2﹣4mx+3m=m(x2﹣4x+3)=m(x﹣1)(x﹣3)
∵m>0
∴当(x﹣1)(x﹣3)=0时,y=0
解得:x1=1,x2=3
∴抛物线一定经过定点(1,0)和(3,0)
(3)
①过点C'作C'E⊥x轴于点E
∴∠AEC'=90°
由(2)可得,A(1,0),B(3,0)
∴OA=1
∵C(0,3m)
∴OC=3m
∵将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到AC′
∴AC'=AC,∠CAC'=90°
∴∠OAC+∠C'AE=∠OAC+∠ACO=90°
∴∠C'AE=∠ACO
在△AEC'与△COA中
∴△AEC'≌△COA(AAS)
∴AE=CO=3m,C'E=OA=1
∴OE=OA+AE=1+3m
∴点C'坐标为(1+3m,1)
②存在m,使得△ADC′为等腰三角形.
∵A(1,0),C'(1+3m,1),D(2,﹣m)
∴AC'2=(1+3m﹣1)2+12=9m2+1,AD2=(2﹣1)2+(﹣m)2=1+m2,C'D2=(1+3m﹣2)2+(1+m)2=10m2﹣4m+2
∴AC'2>AD2,AD2<C'D2
即AC'≠AD,AD≠C'D
∴△ADC′为等腰三角形时,AC'=C'D
∴9m2+1=10m2﹣4m+2
解得:m1=2+,m2=2﹣
∴m的值为(2+)或(2﹣
)时,△ADC′为等腰三角形.

【题目】如图,∠MAN=30°,在射线AN上取一点B,使AB=4 cm,过点B作BC⊥AM于点C,点D为边AB上的动点(点D不与点A,点B重合),连接CD,过点D作ED⊥CD交直线AC于点E.在点D由点A到点B运动过程中,设AD=x cm,AE=y cm.
(1)取指定点作图,根据下面表格预填结果,先通过作图确定AD=2 cm时,点E的位置,测量AE的长度.
①根据题意,在答题卡上补全图形;
②把表格补充完整:通过取点、画图、测量,得到了x与y的几组对应值,如表:
x/cm | … | 1 | 2 | 3 | … | ||||
y cm | … | 0.4 | 0.8 | 1.0 | m | 1.0 | 0 | 4.0 | … |
则m=______(结果保留一位小数).
(2)在下面的平面直角坐标系xOy中,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象;
(3)结合画出的函数图象,解决问题:当AE=AD时,AD的长度约为______cm.