题目内容
【题目】已知抛物线G1：y=ax2+bx+c的顶点为（2，﹣3），且经过点（4，1）．
（1）求抛物线G1的解析式；
（2）将抛物线G1先向左平移3个单位，再向下平移1个单位后得到抛物线G2 ， 且抛物线G2与x轴的负半轴相交于A点，求A点的坐标；
（3）如果直线m的解析式为 
，点B是（2）中抛物线G2上的一个点，且在对称轴右侧部分（含顶点）上运动，直线n过点A和点B．问：是否存在点B，使直线m、n、x轴围成的三角形和直线m、n、y轴围成的三角形相似？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）解：由抛物线G1：y=ax2+bx+c的顶点为（2，﹣3），且经过点（4，1），
可设抛物线G1：y=a（x﹣2）2﹣3，
把（4，1）代入得：1=4a﹣3，解得：a=1，
所以抛物线G1：y=（x﹣2）2﹣3=x2﹣4x+1
（2）解：抛物线G1：y=（x﹣2）2﹣3先向左平移3个单位，再向下平移1个单位后得到抛物线G2：y=（x+1）2﹣4，
令y=0，得：0=（x+1）2﹣4，解得：x=﹣3，或x=1（舍去），
所以点A（﹣3，0）
（3）解：直线m与x轴，y轴的交点分别为F，E，
当直线n与G2交点在x轴上方时，直线n与x轴，y轴的交点为A，D，与抛物线交点B，与直线m交与点C，
当直线n与G2交点在x轴下方时，直线n1与x轴，y轴的交点为A，H，与抛物线交点B1，与直线m交与点L，
当直线n与G2交点在x轴上方时，如图1：
由题意△CDE∽△CFA，此时有：∠CDE=∠CFA，
直线m的解析式为 
，当x=0时，y=3，当y=0时，x=﹣6，
∴点E（0，3），点F（﹣6，0），
∴OF=6，OE=3，
∴tan∠CDE=tan∠CFA= 
，
∴ 
= ，
∵OA=3，
∴OD=6，
点D（0，6），
设直线n：y=mx+n，把D（0，6），点A（﹣3，0）代入得： 
，
解得： 
，
∴直线n：y=2x+6，
联立直线n和抛物线G2得： 
，
解得：x=3，或x=﹣3（舍去）
此时y=12，
所以：点B（3，12），
当直线n与G2交点在x轴下方时，如图2：
由题意△HLE∽△FLA，此时有：∠ELH=∠FLA=90°，
∠EHA=∠LFA，
直线m的解析式为 ，当x=0时，y=3，当y=0时，x=﹣6，
∴点E（0，3），点F（﹣6，0），
∴OF=6，OE=3，
∴tan∠EHA=tan∠LFA= ，
∴ 
= ，
∵OA=3，
∴OH=6，
点H（0，﹣6），
设直线n：y=mx+n，把D（0，﹣6），点A（﹣3，0）代入得： 
解得： 
，
∴直线n：y=﹣2x﹣6，
联立直线n和抛物线G2得： 
，
解得：x=﹣1，或x=﹣3（舍去）
此时y=﹣4，
所以：点B1（﹣1，﹣4），
综上所述：存在点B，使直线m、n、x轴围成的三角形和直线m、n、y轴围成的三角形相似，点B的坐标为（3，12）和（﹣1，﹣4）
【解析】（1）把解析式设成顶点式，再把另一点坐标代入解析式;（2）利用抛物线平移法则“左加右减，上加下减”可求出解析式;（3）分类讨论，在上侧和下侧，利用相似的判定定理逆向推理，由相似可推角相等，由角相等可得正切相等，列出方程.
