Question

【题目】如图，在△ABC中，AC＝BC，AB是⊙C的切线，切点为点D，直线AC交⊙C于点E、F，且CF=AC，

（1）求证：△ABF是直角三角形．

（2）若AC＝6，则直接回答BF的长是多少．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) 3.

【解析】

（1）连接DC，根据AB是⊙C的切线，所以CD⊥AB，根据CD=AC，得出∠A=30°，因为AC=BC，从而求得∠ACB的度数，证明△BCD≌△BCF，可得∠BFC=∠BDC=90°，结论得证；

（2）由（1）知BF=AD，然后在Rt△ACD中根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出AD，从而得到BF的长．

（1）证明：如图，连接CD，则CF=CD，

∵AB是⊙C的切线．

∴CD⊥AB，∠ADC=∠BDC=90°，

在Rt△ACD中，

∵CF，

∴CD=CF，

∴∠A=30°

∵AC=BC∴∠ABC=∠A=30°，

∴∠ACB=120°，

∠BCD=∠BCF=60°，

又∵BC=BC，

∴△BCD≌△BCF（SAS），

∴∠BFC=∠BDC=90°，

∴△ABF是直角三角形．

（2）解：∵AC=BC，CD⊥AB，

∴AD=BD=BF，

在Rt△ACD中，∵∠A=30°，AC=6，

∴CDAC=3，

∴ADCD=3．

∴BF=3．