题目内容
【题目】如图，已知二次函数y＝ax2+2ax+c（a＞0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C．过点B的直线l与这个二次函数的图象的另一个交点为D，与该图象的对称轴交于点E，与y轴交于点F，且DE：EF：FB＝1：1：2．
（1）求证：点F为OC的中点；
（2）连接OE，若△OBE的面积为2，求这个二次函数的关系式；
（3）设这个二次函数的图象的顶点为P，问：以DF为直径的圆是否可能恰好经过点P？若可能，请求出此时二次函数的关系式；若不可能，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）
；（3）以DF为直径的圆能够恰好经过点P，
【解析】
（1）首先得出对称轴，再表示出D，C点坐标，再利用全等三角形的判定方法得出△DCF≌△BOF，进而求出答案；
（2）首先得出F点坐标，进而利用待定系数法求出直线BC的解析式，进而得出答案；
（3）由（1）可得F（0，
），E（﹣1，
），再利用EP＝DE，进而得出关于a，c的等式，进而求出答案．
（1）如图1，过点D作DM∥FO，
∵y＝ax2+2ax+c＝a（x+1）2+c﹣a，
∴它的对称轴为x＝﹣1，
∵DE：EF：FB＝1：1：2，且DM∥NE∥OF，
∴B（2，0），且D点的横坐标为﹣2，
由此可得D（﹣2，c），
∵点C（0，c），
∴D、C关于x＝﹣1对称，
故∠DCF＝90°，
在△DCF和△BOF中
∴△DCF≌△BOF，
∴OF＝CF，
即点F为CO的中点．
（2）∵△OBE的面积为2，B（2，0），
∴E（﹣1，﹣2），
∵OF∥NE，
∴△BOF∽△BNE，
∴
∴
解得：FO＝
，
由此可得F（0，﹣ ），C（0，﹣
），
把B（2，0），C（0，﹣）代入y＝ax2+2ax+c得
解得： 
∴抛物线解析式为：
（3）以DF为直径的圆能够恰好经过点P，
由（1）可得F（0， ），E（﹣1， ），D（﹣2，c），
∴
要使以DF为直径的圆恰好经过点P，有EP＝
∵E（﹣1，），P（﹣1，c﹣a），
∴EP＝
∴
另一方面，由B（2，0）可得8a+c＝0，即c＝﹣8a，
把它代入上式可得a＝
，
∴
【题目】第十二届校园艺术节正在如火如荼的进行，我校九年级组织1500名学生参加了一次“湘一情校园知识”大赛．赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于60分，为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中若干名学生的成绩作为样本，成绩如下：
90，92，81，82，78，95，86，88，72，66，62，68，89，86，93，97，100，73，76，80，77，81，86，89，82，85，71，68，74，98，90，97，100，84，87，73，65，92，96，60．
对上述成绩进行了整理，得到下列不完整的统计图表：
成绩x/分 | 频数 | 频率 |
60≤x＜70 | 6 | 0.15 |
70≤x＜80 | 8 | 0.2 |
80≤x＜90 | a | b |
90≤x≤100 | c | d |
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，请你估计参加这次比赛的1500名学生中成绩“优”等的约有多少人？
