Question

【题目】如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：

①2a+b=0；

②abc＞0；

③b2﹣4ac＞0；

④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；

⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1；

⑥方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根．

其中正确的有_____．

Answer 1

【答案】①③⑤⑥．

【解析】分析: ①利用对称轴x＝1判定；

②根据图象确定a、b、c的符号；

③根据抛物线与x轴交点的个数确定；

④根据对称性判断；

⑤由图象得出，在1＜x＜4时，抛物线总在直线的上面，则y＜y；

⑥方程ax2＋bx＋c＝3的根，就是图象上当y＝3是所对应的x的值．

综上即可得出结论．

详解: ①因为抛物线的顶点坐标A（1，3），所以对称轴为：x＝1，则＝1，2a＋b＝0，故①正确；

②∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

∵对称轴在y轴右侧，

∴b＞0，

∵抛物线与y轴交于正半轴，

∴c＞0，

∴abc＜0，

故②不正确；

③∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b24ac＞0，

故③正确；

④因为抛物线对称轴是：x＝1，B（4，0），

所以抛物线与x轴的另一个交点是（2，0），

故④不正确；

⑤由图象得：当1＜x＜4时，有y2＜y1；故⑤正确；

⑥∵抛物线的顶点坐标A（1，3），

∴方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根是x＝1，

故⑥正确；

则其中正确的有：①③⑤⑥；

故答案为：①③⑤⑥．

点睛: 本题选项较多，比较容易出错，因此要认真理解题意，明确以下几点是关键：①通常2a＋b的值都是利用抛物线的对称轴来确定；②抛物线与x轴的交点个数确定其△的值，即b4ac的值：△＝b4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点；③知道对称轴和抛物线的一个交点，利用对称性可以求与x轴的另一交点．