Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE为⊙O的切线．

（1）求证：DE⊥BC；
（2）如果DE=2，tanC= ，求⊙O的直径．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：连结OD，如图，

∵D为AC的中点，O为AB的中点，

∴OD为△ABC的中位线，

∴OD∥BC，

∵DE为⊙O的切线，

∴DE⊥OD，

∴DE⊥BC

（2）

解：连结BD，如图，

∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠BDE+∠CDE=90°，

而∠CDE+∠C=90°，

∴∠C=∠BDE，

在Rt△CDE中，∵tanC= = ，

∴CE=2DE=4，

在Rt△BDE中，∵tan∠BDE= = ，

∴BE= DE=1，

∴BC=BE+CE=5，

∵OD为△ABC的中位线，

∴OD= BC，

∴AB=BC=5，

即⊙O的直径为5．

【解析】（1）证明：连结OD，如图，先证明OD为△ABC的中位线得到OD∥BC，再根据切线的性质得到DE⊥OD，然后根据平行线的性质可判断DE⊥BC；（2）连结BD，如图，先根据圆周角定理得到∠ADB=90°，再利用等角的余角相等得到∠C=∠BDE，接着根据正切的定义在Rt△CDE中计算出CE=2DE=4，在Rt△BDE中计算出BE= DE=1，则BC=5，然后利用OD为△ABC的中位线可求出OD，从而得到圆的直径．
【考点精析】利用切线的性质定理对题目进行判断即可得到答案，需要熟知切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．