Question

【题目】已知：如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像交x轴于点A，交y轴于点B，点C是点A关于y轴对称的点，过点C作y轴平行的射线CD，交直线AB与点D，点P是射线CD上的一个动点．

（1）求点A、B的坐标．

（2）如图2，将△ACP沿着AP翻折，当点C的对应点E落在直线AB上时，求点P的坐标．

（3）若直线OP与直线AD有交点，不妨设交点为Q（不与点D重合），连接CQ，是否存在点P，使得S△CPQ =2S△DPQ，若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A的坐标为（—3，0），B坐标为（0，4）；（2）点P的坐标(3，3)；（3）点P坐标为（3，）或（3，16）

【解析】

(1)令y=0，则，解得：x=-3，令x=0，则，即可得到答案；

(2)先求出AC=6，CD=8，AD=10，再设CP=y ，则DP=8-y，EP=y，在RtDEP中，根据勾股定理，列方程，即可求解；

(3)当S△CPQ =2S△DPQ时，CP=2DP，分两种情况讨论：①若点P在线段CD上时，②若点P在线段CD的延长线上时，即可求解.

（1）令y=0，则，解得：x=-3，

令x=0，则

∴A的坐标为（-3，0），B坐标为（0，4）．

（2）∵点C是点A关于y轴对称的点，

∴点C的坐标是：（3，0），

∴D的坐标为（3，8），

∴AC=6，CD=8，AD=10，

设CP=y ，则DP=8-y，EP=y，

∵AE=AC=6，

∴ED=AD-AE=10-6=4，

∵在RtDEP中，，

∴，

解得：y=3，

∴点P的坐标(3，3)．

（3）当S△CPQ =2S△DPQ时，CP=2DP，分两种情况讨论：

①若点P在线段CD上时，如图3，

∵CP=2DP，CD=8，

∴CP=CD=×8=，

∴点P坐标为（3，），

②若点P在线段CD的延长线上时，如图4，

∵CP=2DP，

∴DP=CD=8，

∴点P坐标为（3，16），

综上所述：点P坐标为（3，）或（3，16）.

图3 图4