Question

【题目】如图，二次函数y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）．

（1）求该二次函数的表达式;
（2）过点A的直线AD∥BC且交抛物线于另一点D，求直线AD的函数表达式;
（3）在（2）的条件下，请解答下列问题：
①在x轴上是否存在一点P，使得以B、C、P为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②动点M以每秒1个单位的速度沿线段AD从点A向点D运动，同时，动点N以每秒个单位的速度沿线段DB从点D向点B运动，问：在运动过程中，当运动时间t为何值时，△DMN的面积最大，并求出这个最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：

由题意知：，

解得，

∴二次函数的表达式为y=﹣x2+2x+3

（2）

解：

在y=﹣x2+2x+3中，令y=0，则﹣x2+2x+3=0，

解得：x1=﹣1，x2=3，

∴B（3，0），

由已知条件得直线BC的解析式为y=﹣x+3，

∵AD∥BC，

∴设直线AD的解析式为y=﹣x+b，

∴0=1+b，

∴b=﹣1，

∴直线AD的解析式为y=﹣x﹣1.

（3）

解：

①∵BC∥AD，

∴∠DAB=∠CBA，

∴只要当：或时，△PBC∽△ABD，

解得D（4，﹣5），

∴AD=，AB=4，BC=，

设P的坐标为（x，0），

即或，

解得x=或x=﹣4.5，

∴P（，0）或P（﹣4.5，0），

②过点B作BF⊥AD于F，过点N作NE⊥AD于E，

在Rt△AFB中，∠BAF=45°，

∴sin∠BAF=，

∴BF=，BD=，

∴sin∠ADB=，

∵DM=5-t，DN=t，

又∵sin∠ADB=，NE=，

∴

∴当t=时，S△MDN的最大值为

【解析】（1）把A（﹣1，0），C（0，3）代入y=ax2+2x+c即可得到结果；
（2）在y=﹣x2+2x+3中，令y=0，则﹣x2+2x+3=0，得到B（3，0），由已知条件得直线BC的解析式为y=﹣x+3，由于AD∥BC，设直线AD的解析式为y=﹣x+b，即可得到结论；
（3）①由BC∥AD，得到∠DAB=∠CBA，全等只要当或时，△PBC∽△ABD，解方程组得D（4，﹣5），求出AD=5，AB=4，BC=3，设P的坐标为（x，0），代入比例式解得x=或x=﹣4.5即可得到P（ ， 0）或P（﹣4.5，0）；
②过点B作BF⊥AD于F，过点N作NE⊥AD于E，在Rt△AFB中，∠BAF=45°，于是得到sin∠BAF= ， 求得BF=，BD=，求得sin∠ADB= ， 由于DM=5-t ， DN=t ， 于是得到 ， 即可得到结果．
【考点精析】本题主要考查了二次函数图象以及系数a、b、c的关系和二次函数图象的平移的相关知识点，需要掌握二次函数y=ax2+bx+c中，a、b、c的含义：a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上; a<0时，抛物线开口向下b与对称轴有关：对称轴为x=-b/2a;c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）；平移步骤：（1）配方 y=a(x-h)2+k，确定顶点（h,k）（2）对x轴左加右减；对y轴上加下减才能正确解答此题．