题目内容
【题目】如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，点D是△ABC内一点，若AC＝AD，∠CAD＝30°，连接BD，则∠ADB的度数为（ ）
A.120°B.135°C.150°D.165°
【答案】B
【解析】
先根据△ABC是等腰直角三角形得：∠CAB=∠ABC=45°，作辅助线，构建全等三角形，证明△CDB≌△AED，则∠ADE=∠CBD，ED=BD，设∠CBD=x，则∠ADE=x，∠DEB=∠DBE=15+x，根据∠ABC=45°列方程可求x的值，根据三角形内角和得∠BDC=150°，最后由周角得出结论．
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠ABC=45°，
∵AC=AD，
∴AD=BC，
∵∠CAD=30°，
∴∠ACD=∠ADC=75°，
∠DAB=45°﹣30°=15°，
∴∠DCB=90°﹣75°=15°，
∴∠EAD=∠DCB，
在AB上取一点E，使AE=CD，连接DE，
在△CDB和△AED中，
，
∴△CDB≌△AED(SAS)，
∴∠ADE=∠CBD，ED=BD，
∴∠DEB=∠DBE，
设∠CBD=x，则∠ADE=x，∠DEB=∠DBE=15+x，
∵∠ABC=45°，
∴x+15+x=45，
∴x=15°，
∴∠DCB=∠DBC=15°，
∴∠BDC=180°﹣15°﹣15°=150°，
∴∠ADB=360°﹣75°﹣150°=135°；
故选：B．
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