题目内容

【题目】心理学家研究发现,一般情况下,在一节40分钟的课中,学生的注意力指数y随时间x(分)的变化规律如图所示(其中ABBC为线段,CD为双曲线的一部分).

(1)分别求出线段AB和双曲线CD的函数解析式,并写出自变量的取值范围;

(2)开始上课后第5分钟时与第30分钟时比较,何时学生的注意力更集中?

(3)一道数学竞赛题,需要讲19分钟,为了效果较好,要求学生的注意力指数至少为36,那么经过适当安排,老师能否在学生达到所需的状态下讲解完这道题目?说明理由.

【答案】(1)线段AB所在的直线的解析式为y1=2x+20.(0≤x≤10),CD所在双曲线的解析式为y2(25≤x≤40);(2)第30分钟注意力更集中.(3)经过适当安排,老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目.

【解析】

(1)用待定系数法分别求出ABCD的函数表达式即可;

(2)分别求第5分钟和第30分钟的注意力指数,最后比较判断;

(3)分别求出注意力指数为36时的两个时间,再将两时间之差和19比较,大于19则能讲完,否则不能.

解:(1)设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+20,

B(10,40)代入得,k1=2,

∴y1=2x+20.(0≤x≤10)

C、D所在双曲线的解析式为y2

C(25,40)代入得,k2=1000,
∴y2(25≤x≤40);

(2)当x1=5时,y1=2×5+20=30,

x1=30时,y2

∴y1<y2,

∴第30分钟注意力更集中.

(3)令y1=36,

∴36=2x+20,

∴x1=8,

y2=36,

∴36=

∴x2≈27.8;

∵27.8-8=19.8>19,

∴经过适当安排,老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目.

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