题目内容
【题目】心理学家研究发现,一般情况下,在一节40分钟的课中,学生的注意力指数y随时间x(分)的变化规律如图所示(其中AB、BC为线段,CD为双曲线的一部分).
(1)分别求出线段AB和双曲线CD的函数解析式,并写出自变量的取值范围;
(2)开始上课后第5分钟时与第30分钟时比较,何时学生的注意力更集中?
(3)一道数学竞赛题,需要讲19分钟,为了效果较好,要求学生的注意力指数至少为36,那么经过适当安排,老师能否在学生达到所需的状态下讲解完这道题目?说明理由.
【答案】(1)线段AB所在的直线的解析式为y1=2x+20.(0≤x≤10),CD所在双曲线的解析式为y2=(25≤x≤40);(2)第30分钟注意力更集中.(3)经过适当安排,老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目.
【解析】
(1)用待定系数法分别求出AB和CD的函数表达式即可;
(2)分别求第5分钟和第30分钟的注意力指数,最后比较判断;
(3)分别求出注意力指数为36时的两个时间,再将两时间之差和19比较,大于19则能讲完,否则不能.
解:(1)设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+20,
把B(10,40)代入得,k1=2,
∴y1=2x+20.(0≤x≤10)
设C、D所在双曲线的解析式为y2=,
把C(25,40)代入得,k2=1000,
∴y2=(25≤x≤40);
(2)当x1=5时,y1=2×5+20=30,
当 x1=30时,y2==
,
∴y1<y2,
∴第30分钟注意力更集中.
(3)令y1=36,
∴36=2x+20,
∴x1=8,
令y2=36,
∴36=,
∴x2=≈27.8;
∵27.8-8=19.8>19,
∴经过适当安排,老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目.

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